La diferencia entre estas definiciones es que, mientras el primero se presenta una propiedad que un p-valor debe satisfacer, éstas últimas definir el valor de p como una función de una colección de pruebas de hipótesis. Es posible mostrar que estas definiciones están relacionadas, como expongo a continuación.
Tenga en cuenta que las dos últimas definiciones se refieren a diferentes niveles de significación. Con el fin de hacer que estas definiciones operacionales, usted debe considerar la posibilidad de una colección de pruebas de hipótesis. Formalmente, una prueba de hipótesis, $\phi: \mathcal{X} \rightarrow \{0,1\}$ es una función del espacio muestral de que asume el valor de $1$ si $H_0$ es rechazado y el valor de $0$, de lo contrario. Deje $(\phi_{\alpha})_{\alpha \in (0,1)}$ ser una colección de pruebas de hipótesis tal que $\phi_{\alpha}$ tiene el tamaño de $\alpha$ y que satisfacen monotonía, es decir, si $\alpha_1 \leq \alpha_2$, a continuación, para cada $x$, $\phi_{\alpha_1}(x) \leq \phi_{\alpha_2}(x)$. Las dos últimas definiciones de decir que el p-valor es una función de $p: \mathcal{X} \rightarrow (0,1)$ tal que $p(x)=\inf \{\alpha: \phi_{\alpha}(x)=1\}$. Observar que, para cada $\theta \in H_0$,
\begin{align*}
\mathbb{P}_\theta(p(X) \leq \alpha^*)
&= \mathbb{P}_\theta(\inf \{\alpha: \phi_{\alpha}(X)=1\} \leq \alpha^*) \\
&= \mathbb{P}_\theta(\phi_{\alpha^*}(X)=1)
& \text{monotonicity} \\
&\leq \alpha^*
& \phi_{\alpha^*} \text{ has size } \alpha^*
\end{align*}
Esto muestra que el p-valor como en Rohatgi y Schervish satisface la propiedad se presenta en Casella.
A continuación, considere que $p: \mathcal{X} \rightarrow (0,1)$ es una función tal que, para cada $\theta \in H_0$, $P_{\theta}(p(X) \leq \alpha^*) \leq \alpha^*$. En este caso, se puede definir una colección de pruebas de hipótesis tal que $\phi_{\alpha}(x)=\mathbb{I}(p(x) \leq \alpha)$. Se sigue de la definición inicial que cada una de las $\phi_{\alpha}$ tiene el tamaño de $\alpha$. También, se desprende de la construcción que, si $\alpha_1 \leq \alpha_2$, a continuación, para cada $x$, $\phi_{\alpha_1}(x) \leq \phi_{\alpha_2}(x)$. Por último, tenga en cuenta que
$p(x) = \inf\{\alpha: \phi_{\alpha}(x)=1\}$. Es decir, se puede construir una colección de pruebas de hipótesis basadas en Casella definición. Si se aplica Rohatgi o Schervishe la definición de esta clase, entonces usted obtener $p(x)$.
