Demostración combinatoria de la regla del producto determinante

Question

Una de las definiciones del determinante es:

$\det ({\mathbf C}) =\sum_{\lambda \in S_n} ({\operatorname {sgn} ({\lambda}) \prod_{k=1}^n C_{k \lambda ({k})}})$

Quiero demostrar a partir de esto que

$\det \left({\mathbf {AB}}\right) = \det({\mathbf A})\det({\mathbf B})$

Lo que tengo hasta ahora:

$(AB)_{k\lambda ({k})} = \sum_{j=1}^n A_{kj}B_{j\lambda(k)}$

por lo que tenemos para el determinante de $\mathbf {AB}$

$\det ({\mathbf {AB}}) =\sum_{\lambda \in S_n} ({\operatorname {sgn} ({\lambda}) \prod_{k=1}^n \sum_{j=1}^n A_{kj}B_{j\lambda(k)}})$

Ahora no estoy seguro de cómo denotar esto, pero el producto de la suma creo que es la suma sobre todas las combinaciones de n términos, cada uno de los cuales va de 1 a n, así que denotaré este conjunto de todas las combinaciones $C_n(n)$ para n términos, cada uno de ellos comprendido entre 1 y n, análogo al conjunto de permutaciones, pero todas las combinaciones en lugar de permutaciones.

entonces obtengo

$\det ({\mathbf {AB}}) =\sum_{\lambda \in S_n} ({\operatorname {sgn} ({\lambda}) \sum_{\gamma \in C_n(n)} \prod_{k=1}^n A_{k\gamma(k)}B_{\gamma(k)\lambda(k)}} )$

entonces al menos puedo separar el producto:

$\det ({\mathbf {AB}}) =\sum_{\lambda \in S_n} ({\operatorname {sgn} ({\lambda}) \sum_{\gamma \in C_n(n)} \prod_{k=1}^n A_{k\gamma(k)} \prod_{r=1}^n B_{\gamma(r)\lambda(r)}} )$

Cambié la k por una r en un producto porque es una variable ficticia así que creo que no importa, no sé realmente si esto es útil pero este es mi intento de solución hasta ahora.

Gracias a todos los que ayuden.

Answer 1

En $$\det ({\mathbf {AB}}) =\sum_{\lambda \in S_n} \operatorname {sgn} (\lambda) \sum_{\gamma \in C_n(n)} \left(\prod_{k=1}^n A_{k\gamma(k)} \right) \left(\prod_{r=1}^n B_{\gamma(r)\lambda(r)} \right)$$ reordena las sumas y factoriza el primer producto : $$\det (\mathbf {AB}) =\sum_{\gamma \in C_n(n)} \left(\prod_{k=1}^n A_{k\gamma(k)} \right) \left( \sum_{\lambda \in S_n} \operatorname {sgn} (\lambda) \prod_{r=1}^n B_{\gamma(r)\lambda(r)} \right)$$

Para $\gamma \in C_n(n)$ supongamos que $\gamma$ no es una permutación : hay dos índices $i,j$ tal que $\gamma(i) = \gamma(j)$ . Sea $\tau$ sea el intercambio de transposiciones $i$ y $j$ . En particular, $\gamma \circ \tau = \gamma$ . Para cualquier $\lambda \in S_n$ reordenando el producto, obtenemos : $$\operatorname {sgn} (\lambda)\prod_{r=1}^n B_{\gamma(r)\lambda(r)} = \operatorname {sgn} (\lambda)\prod_{r=1}^n B_{\gamma(\tau(r))\lambda(\tau(r))} = - \operatorname {sgn} (\lambda \circ \tau)\prod_{r=1}^n B_{\gamma(r)\lambda \circ \tau(r)} $$ Así, duplicando y reorganizando la suma, $$ \sum_{\lambda \in S_n} \operatorname {sgn} (\lambda) \prod_{r=1}^n B_{\gamma(r)\lambda(r)} = \frac 12 \sum_{\lambda \in S_n} \left( \operatorname {sgn} (\lambda) \prod_{r=1}^n B_{\gamma(r)\lambda(r)} + \operatorname {sgn} (\lambda \circ \tau) \prod_{r=1}^n B_{\gamma(r)\lambda \circ \tau(r)(r)}\right) = 0$$ Por lo tanto, sólo podemos mantener el $\gamma$ que son permutaciones, y reordenando el segundo producto, tenemos : $$\det (\mathbf {AB}) =\sum_{\gamma \in S_n} \left(\prod_{k=1}^n A_{k\gamma(k)} \right) \left( \sum_{\lambda \in S_n} \operatorname {sgn} (\lambda) \prod_{r=1}^n B_{r\lambda\circ\gamma^{-1}(r)} \right)$$ Reorganizando la segunda suma, obtenemos : $$\det (\mathbf {AB}) =\sum_{\gamma \in S_n} \left(\prod_{k=1}^n A_{k\gamma(k)} \right) \left( \sum_{\lambda \in S_n} \operatorname {sgn} (\lambda) \operatorname {sgn} (\gamma)\prod_{r=1}^n B_{r\lambda(r)} \right) $$ Podemos factorizar $\operatorname{sgn}(\gamma)$ de la segunda suma, luego factorizar toda la segunda suma de la primera suma, para obtener $$\det (\mathbf {AB}) = \left( \sum_{\gamma \in S_n} \operatorname {sgn} (\gamma) \prod_{k=1}^n A_{k\gamma(k)} \right) \left( \sum_{\lambda \in S_n} \operatorname {sgn} (\lambda) \prod_{r=1}^n B_{r\lambda(r)} \right) = \det (\mathbf {A})\det (\mathbf {B})$$