Cómo resolver $ \int_0 ^{2 \pi } \frac {dt}{3+ \sin (t)}$ ?

Question

Se atascó con la integral.

Lo reescribí como $$I= \int_0 ^{2 \pi } \frac {2idt}{6i+e^{it}-e^{-it}},$$ entonces tomé $z:=e^{it} \implies dz=ie^{it}dt \implies dt = - \frac {idz}{z}$ así que yo me pondría..:

$$ \int_\gamma \frac {2dz}{6i+z- \frac {1}{z}}= \int_\gamma \frac {2zdz}{6iz+z^2-1}.$$

Se puede observar que $-i(2 \sqrt {2} \pm 3)$ son los puntos singulares del integrando.

Entonces los residuos son $ \pm \frac {i}{4 \sqrt {2}}$ . Y la integral se convertiría:

$$ I=0 $$

según el Teorema del Residuo Caucásico.

¿En qué me equivoco? Aprecio tu aportación.

Answer 1

Lo hiciste casi bien. Tienes que usar sólo el palo dentro del círculo de la unidad: $$ \int_0 ^{2 \pi } \frac {dt}{3+ \sin (t)}= \int_ {|z|=1} \frac {2dz}{z^2+6iz-1}=2 \pi i \cdot \mbox {Res} \left ( \frac {2}{z^2+6iz-1},i(2 \sqrt {2}- 3) \right )= \frac { \pi }{ \sqrt {2}}$$

Answer 2

Aunque este problema también se puede resolver con una integración compleja, me gustaría mostrar un método que requiere una integración bastante estándar y un poco de paciencia, ya que también incluyó una etiqueta "integración". Primero observe que el área bajo la curva no cambia si reemplaza el seno por un coseno. Debido a la simetría, tenemos $2 \int_0 ^{ \pi } \frac {dx}{3+ \sin (x)}$ subtítulos en inglés $x=2t$ tenemos $4 \int_0 ^{0.5 \pi } \frac {dt}{3+ \cos (2t)}$ = $4 \int_0 ^{0.5 \pi } \frac {dt}{3+ \cos ^2t-1}$ = $4 \int_0 ^{0.5 \pi } \frac {dt}{2+2 \cos ^2t}$ = $2 \int_0 ^{0.5 \pi } \frac {dt}{1+ \cos ^2t}$ = $2 \int_0 ^{0.5 \pi } \frac {sec^2t}{sec^2t+1}dt$ = $2 \int_0 ^{0.5 \pi } \frac {sec^2t}{2+tan^2t}dt$ Ahora está listo $tant=v$ para conseguir: $2 \int_0 ^{ \infty } \frac {1}{2+v^2}dv$ . Esto es, por supuesto, el estándar del que se obtiene $ \frac { \pi }{ \sqrt {2}}$

Answer 3

También puedes ver que la función es $2 \pi $ periódica así que $$I= \int_ {0}^{2 \pi } \frac {dt}{3+ \sin\left (t \right )}= \int_ {- \pi }^{ \pi } \frac {dt}{3+ \sin\left (t \right )} $$ así que usando el sustitución de medio ángulo tangente tenemos $$I=2 \int_ {- \infty }^{ \infty } \frac {1}{3u^{2}+2u+3}du=2 \int_ {- \infty }^{ \infty } \frac {1}{ \left ( \sqrt {3}u+ \frac {1}{ \sqrt {3}} \right )^{2}+ \frac {8}{3}}du \stackrel { \sqrt {3}u+ \frac {1}{ \sqrt {3}}=v}{=} \frac {2}{ \sqrt {3}} \int_ {- \infty }^{ \infty } \frac {1}{v^{2}+ \frac {8}{3}}dv $$ $$ \stackrel { \sqrt { \frac {3}{8}}v=s}{=} \frac { \sqrt {2}}{2} \int_ {- \infty }^{ \infty } \frac {1}{s^{2}+1}ds= \color {red}{ \frac { \pi }{ \sqrt {2}}}.$$

Answer 4

Una forma analítica real es romper el rango de integración en subintervalos con la longitud $ \frac { \pi }{2}$ para conseguir

$$ I = \int_ {0}^{ \pi /2} \left ( \frac {1}{3+ \sin z}+ \frac {1}{3+ \cos z}+ \frac {1}{3- \sin z}+ \frac {1}{3- \cos (z)} \right )\,dz \tag {1}$$ de la cual: $$ I = \int_ {0}^{ \pi /2} \frac {12}{9- \cos ^2 z}\,dz = \int_ {0}^{+ \infty } \frac {12\,dt}{9(1+t^2)-1} \tag {2}$$ a través de la sustitución $z= \arctan t$ . La última integral es fácil de calcular: $$ I = \int_ {0}^{+ \infty } \frac {12\,dt}{9t^2+8}= \frac {2 \sqrt {2}}{3} \int_ {0}^{+ \infty } \frac {12\,du}{8u^2+8}= \frac {2 \sqrt {2}}{3} \cdot\frac {12}{8} \cdot\frac { \pi }{2}= \color {red}{ \frac { \pi }{ \sqrt {2}}}. \tag {3}$$

---

Una forma alternativa puede ser la siguiente. Lo hemos hecho: $$ I = \sum_ {n \geq 0} \frac {1}{3^{n+1}} \int_ {0}^{2 \pi } \sin ^n(x)\,dx = \sum_ {n \geq 0} \frac {1}{3^{2n+1}} \int_ {0}^{2 \pi } \sin ^{2n}(x)\,dx \tag {4} $$ así que: $$ I = \frac {2 \pi }{3} \sum_ {n \geq 0} \frac { \binom {2n}{n}}{36^n}= \frac {2 \pi }{3 \sqrt {1- \frac {4}{36}}}= \color {red}{ \frac { \pi }{ \sqrt {2}}} \tag {5}$$ también se desprende de una conocida función generadora .

Answer 5

$\newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\,{#1}\,\right)} \newcommand{\root}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,{#2}\,}\,}$ \begin{align} \color{#f00}{\int_{0}^{2\pi}{\dd t \over 3 + \sin\pars{t}}} & = 2\int_{0}^{\pi}{\dd t \over 3 - \cos\pars{t}} = 2\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\,\,{\dd t \over 3 + \sin\pars{t}} = 12\int_{0}^{\pi/2}{\dd t \over 9 - \sin^{2}\pars{t}} \\[5mm] & = 12\int_{0}^{\pi/2} {\sec^{2}\pars{t} \over 9\sec^{2}\pars{t} - \tan^{2}\pars{t}}\,\dd t = 12\int_{0}^{\pi/2} {\sec^{2}\pars{t} \over 8\tan^{2}\pars{t} + 9}\,\dd t \\[5mm] & = 12\int_{0}^{\infty}{\dd t \over 8t^{2} + 9} = {12 \over 9}\,{3 \over 2\root{\vphantom{\large A}2}}\int_{0}^{\infty}{\dd t \over t^{2} + 1} = \root{\vphantom{\large A}2}\,{\pi \over 2} \\[5mm] & = \color{#f00}{{\root{\vphantom{\large A}2} \over 2}\,\pi} \approx 2.2214 \end{align}