¿Cómo encontrar la multiplicidad de los valores propios?

Question

No entiendo cómo encontrar la multiplicidad de un valor propio. Para ser honesto, no estoy seguro de lo que los libros se refiere a la multiplicidad.

Por ejemplo, encontrar la multiplicidad de cada valor propio para la matriz dada: $$\begin{bmatrix}1 & 4\\2 & 3\end{bmatrix}$$

He encontrado que los valores propios de esta matriz son -1 y 5, pero ¿cuáles son sus multiplicidades?

Answer 1

El polinomio característico de la matriz es $p_A(x) = \det (xI-A)$ . En su caso, $A = \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 3\end{bmatrix}$ Así que $p_A(x) = (x+1)(x-5)$ . Por lo tanto, tiene dos valores propios distintos y cada uno ocurre sólo una vez, por lo que la multiplicidad algebraica de ambos es uno.

Si $B=\begin{bmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 5\end{bmatrix}$ entonces $p_B(x) = (x-5)^2$ por lo que el valor propio $5$ tiene multiplicidad algebraica $2$ . Desde $\dim \ker (5I-B) = 2$ la multiplicidad geométrica es también $2$ .

Si $C=\begin{bmatrix} 5 &1 \\ 0 & 5\end{bmatrix}$ entonces $p_C(x) = (x-5)^2$ (igual que $p_C$ ), por lo que el valor propio $5$ tiene multiplicidad algebraica $2$ . Sin embargo, $\dim \ker (5I-C) = 1$ la multiplicidad geométrica es $1$ .

Muy En términos generales, la matriz es "deficiente" en algún sentido cuando las dos multiplicidades no coinciden.

La multiplicidad algebraica de un valor propio $\lambda$ es la potencia $m$ del término $(x-\lambda)^m$ en el polinomio característico.

La multiplicidad geométrica es el número de vectores propios linealmente independientes que se pueden encontrar para un valor propio.

Answer 2

Permítanme explicar las dos multiplicidades que sé que están relacionadas con los valores propios de las matrices:
En primer lugar, ¿qué es el valor propio de una matriz $A$ ? Por definición, está formada por los ceros del polinomio: $\det(A-xI)$ . Así que las multiplicidades que se dan en este polinomio se definen como las multiplicidades de los valores propios.
En segundo lugar, dado que, para un valor propio $\lambda$ tenemos $\det(A-\lambda I)=0$ es decir $A-\lambda I$ es una matriz singular, y la transformación lineal que define tiene un núcleo no trivial. Se dice entonces que la dimensión de este núcleo es la multiplicidad geométrica del valor propio.
Por lo tanto, en un caso, hay que calcular algún polinomio; mientras que, por otro lado, hay que calcular algunas transformaciones, para encontrar su núcleo, y determinar la dimensión del núcleo, para encontrar los multiplicidades de los valores propios. Obsérvese que aquí se tiene un $2\times 2$ matriz con $2$ valores propios, y por lo tanto deben ser de multiplicidades $1$ . Es decir, las dos nociones coinciden, y la matriz en cuestión debe ser diagonalizable.