Cómo calcular el límite de $\frac{n}{n^2+1^2}+\frac{n}{n^2+2^2}+\frac{n}{n^2+3^2}+\cdots+\frac{n}{n^2+n^2}$ sin el uso de sumas de Riemann?

Question

Cómo calcular el límite de $\frac{n}{n^2+1^2}+\frac{n}{n^2+2^2}+\frac{n}{n^2+3^2}+\cdots+\frac{n}{n^2+n^2}$ sin el uso de sumas de Riemann?

Yo: yo lo he Solucionado utilizando como Límite de una Suma (Reinman Suma de Integrales.)

Pero no entiendo Cómo puedo resolverlo Utilizando Sequeeze Teorema o de cualquier otra forma.

Answer 1

Para $0 \le k \le n$, vamos a $t_k = \frac{k}{n}$.

Dividir el intervalo de $[0,1]$ a $n$ sub-intervalos de $[t_{k-1},t_k]$ $1 \le k \le n$ y aplicar MVT a $\tan^{-1} x$ en los intervalos. Nos encontramos para cada una de las $k$, hay un $x_k \in ( t_{k-1}, t_k )$ tal que $$\tan^{-1}t_k - \tan^{-1} t_{k-1} = \frac{t_k-t_{k-1}}{1+x_k^2}$$ Desde $\frac{1}{1+x^2}$ es monótona decreciente para $x \ge 0$, hemos enlazado

$$\frac{n}{n^2 + (k-1)^2} = \frac{t_k-t_{k-1}}{1+t_{k-1}^2} \ge \tan^{-1}t_k - \tan^{-1}t_{k-1} \ge \frac{t_k-t_{k-1}}{1+t_k^2} = \frac{n}{n^2+k^2}$$

Sumando esto a través de $k$$1$$n$, obtenemos

$$\frac{1}{2n} + \sum_{k=1}^n \frac{n}{n^2+k^2} = \sum_{k=1}^n \frac{n}{n^2+(k-1)^2} \ge \bronceado^{-1}t_n - \bronceado^{-1}t_0 = \bronceado^{-1} 1 = \frac{\pi}{4} \ge \sum_{k=1}^n\frac{n}{n^2+k^2}$$ Esto lleva a $\displaystyle\;\left|\sum_{k=1}^n \frac{n}{n^2+k^2} - \frac{\pi}{4}\right| \le \frac{1}{2n}$ y, por tanto, $\displaystyle\;\lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n \frac{n}{n^2+k^2} = \frac{\pi}{4}$

Answer 2

Uno puede usar la función digamma, de la norma de $ \psi(z+1)-\psi(z)=\dfrac1z$ se obtiene fácilmente $$ \psi(z+n+1)-\psi(z+1)=\sum_{k=1}^n\frac1{z+k}, $$ la inserción de $z:=in$ y considerando imaginaria da $$ \sum_{k=1}^n\frac{n}{n^2+k^2}=-\text{Im}\left[\psi(en+n+1)-\psi(en+1)\right] $$ then one may recall that (see $6.3.18$ aquí) $$ \psi(z)=\log z+O\left(\frac1z \right) \quad z \to \infty, \quad |\mathrm{arg}z|<\pi, $$ which yields, as $n \to \infty$,

$$ \sum_{k=1}^n\frac{n}{n^2+k^2}=-\text{Im}\left[\log(1+i)-\log i \right]+O\left(\frac1n \right)=\frac\pi4+O\left(\frac1n \right) \a \frac\pi4. $$

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Observación. Mediante la consideración de más asintótica términos en $\psi$, se obtiene,

$$ \sum_{k=1}^n\frac{n}{n^2+k^2}=\frac\pi4-\frac1{4n}-\frac1{24n^2}+\frac1{2016n^6}+O\left(\frac1{n^8} \right) $$

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$\displaystyle \log z$ denota el principal valor del logaritmo definido por $$ \begin{align} \displaystyle \log z = \ln |z| + i \: \mathrm{arg}z, \quad -\pi <\mathrm{arg} z \leq \pi,\quad z \neq 0. \end{align} $$