Recientemente me pidió una dirección con cómo conectar un convergentes función a probar que es uniformemente continua y estaba dirigido a un impresionante post que explicaba mucho para mí. Así que ahora me trataron de demostrar que este problema que casi le pregunta a un caso específico de que y me preguntaba si la gente podía mirar por encima de los errores.
Supongamos $f$ es continua en a$[0, \infty)$$f(x) \rightarrow 2$$x \rightarrow \infty$. Demostrar $f$ es uniformemente continua en a $[0, \infty)$.
Desde $f(x) \rightarrow 2$$x \rightarrow \infty$, $\epsilon>0, \exists k $ s.t. $ \forall x \geq k$ tenemos $|f(x) - 2| < \frac{\epsilon}{2}$.
También, tenga en cuenta que desde $f$ es continua en a $[0, \infty)$ es uniformemente continua en a$[0, k+2]$, por lo que para $\epsilon >0$, $\exists \delta_1 > 0$ s.t. si $x,y \in [0, k+2]$$|x-y| < \delta_1$$|f(x) - f(y)| < \epsilon$.
Ahora, dada $\epsilon >0$, tome $\delta = \min(\delta_1, \frac{1}{2}) > 0$. Supongamos $x,y \in [0, \infty)$$|x-y| < \delta$.
Entonces si $x > k + 1$, ya que el $|x-y| < \frac{1}{2}$ tenemos $k+1 - y < x - y < \frac{1}{2}$$y > k$. Juntos, tenemos $x, y > k$$|x-y| < \delta$, lo $|f(x) - f(y)| = |(f(x) - 2) + (-f(y) + 2)| \leq |f(x) -2| + |f(y) - 2| < \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon$.
Si $x \leq k + 1$, ya que el $|x - y| < \frac{1}{2}$, luego tenemos a $y < k + \frac{3}{2} < k+2$. Juntos, tenemos $x, y \in [0,k+2]$$|x-y| < \delta \leq \delta_1$$|f(x) - f(y)| < \epsilon$.
Así, hemos demostrado por $\epsilon >0$, hay un $\delta > 0$ s.t. si $x,y \in [0, \infty)$$|x-y| < 0$,$|f(x) - f(y)| < \epsilon$.
