Confusión matemática: fuerza del campo gravitatorio y potencial gravitatorio

Question

En la escuela me enseñaron que

$g=\frac{GM}{r^2}$

Integrando, obtengo

$\phi=-\frac{GM}{r}$

Matemáticamente, puedo ver que $\phi=-gr$ pero, ¿por qué esta relación es considerada incorrecta por mi profesora? Ella mencionó algo sobre $g$ no ser una constante. ¿Puede alguien ayudarme a explicar por qué está mal?

Gracias de antemano.

Answer 1

Hay una cierta cantidad de elección involucrada aquí, por lo que no estás afirmando un hecho físico invariable.

Primera serie de definiciones. Si defines la fuerza de gravedad como un escalar (no un vector) $g=\frac{G M}{r^2}$ y si se define $\phi=-\frac{G M}{r}$ entonces sí que tienes $g=\frac{d\phi}{dr}$ y $\phi=-g r$ . Esto es matemáticamente cierto, como usted ha señalado.

Segunda serie de definiciones. Si define $g=\frac{G M}{r^2}$ y si se define $\phi=-\frac{G M}{r}+C$ para alguna constante $C$ Entonces, todavía tienes $g=\frac{d\phi}{dr}$ la física y las fuerzas no cambian en absoluto, pero ya no tienes $\phi=-gr$ . Físicamente, se puede añadir cualquier constante a un potencial y el resultado no cambia. Así que tu profesor puede señalar que esta definición alternativa es válida, y que en esta definición alternativa tu ley no se cumple.

También hay que tener en cuenta que, normalmente, se prefiere decir $g=-\frac{G M}{r^2}$ y $g=-\frac{d \phi}{dr}$ reflejando el hecho de que la fuerza $mg$ debe acelerar los objetos abajo el potencial. Ese signo negativo es importante a la hora de definir los potenciales.

Tercera serie de definiciones. (Añadido más tarde). Como señala EL_DON, otra definición comúnmente utilizada es tomar $g$ como una constante, $g=9.81 \frac{m}{s^2}$ . Con esta definición $g\neq -\frac{G M}{r^2}$ excepto si se le da una masa y un radio específicos. Por lo tanto, si su profesor está utilizando este conjunto de definiciones, claramente $g=-\frac{d \phi}{dr}$ no puede ser una afirmación correcta.

Cuarta serie de definiciones. Y finalmente, en la versión más general de la ley de la gravedad de Newton, $\phi(x,y,z)$ es un escalar y el campo gravitatorio $\vec{g}=(g_x,g_y,g_z)$ es un vector. Las relaciones son entonces $\phi=-\frac{G M}{\|\vec{r}\|}$ y $\vec{g}=-\vec{\nabla} \phi$ , donde $\|\vec{r}\|$ es la longitud del vector $(x,y,z)$ (es decir, $\|\vec{r}\|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ ), y donde $\vec{\nabla} \phi=(\frac{d\phi}{dx},\frac{d\phi}{dy},\frac{d\phi}{dz})$ . En este caso la ecuación $\phi=\vec{g}r$ ni siquiera está bien formada, ¡porque un lado es un escalar y el otro es un vector! Así que este es otro punto de vista desde el que tu ecuación no es correcta. (Sin embargo, seguiría siendo cierto que $\phi=\vec{g}\cdot\vec{r}$ )

Así que hay un conjunto de definiciones bajo las cuales tu ecuación es verdadera, y dos o tres conjuntos de definiciones bajo las cuales tu ecuación no es verdadera. Tu profesor probablemente estaba pensando en el segundo o tercer conjunto de definiciones.

Answer 2

No te equivocas matemáticamente, pero ocultas poderes de $r$ dentro de $g$ lo que podría ser confuso. Si $g$ es una constante, entonces todo está bien. Si $g$ es una función de $r$ no oscurezca la física; simplemente escriba $\phi=-GM/r$ .

@NeuroFuzzy trajo a colación un punto verdadero sobre $\phi$ sólo se define hasta una constante, pero esto no es realmente tan importante (aunque posiblemente para su profesor lo sea) porque sólo se pueden medir las diferencias en $\phi$ donde la constante desconocida siempre se cancelará. @NeuroFuzzy también tiene razón en que siempre hay que tener cuidado con los signos negativos.