Puede el techo de la función de ser usado para demostrar la propiedad de Arquímedes?

Question

Recordar la siguiente definición de la propiedad de Arquímedes:

Para cada una de las $x \in \Bbb{R}$, existe alguna $n \in \Bbb{N}$ tal que $n>x$.

Mi libro de texto demuestra esta invocando el axioma de completitud. Mi primer instinto fue, sin embargo, el uso de la función ceiling:

Prueba: Elegir cualquier $x \in \Bbb{R}$. A continuación, considere la posibilidad de $n=1+\lceil x \rceil$. Por definición, $n>x$, como se desee.

Esto parece hacer trampa, aunque. ¿El techo de la función implícita dependen de la integridad axioma? Es mi prueba de circular?

Answer 1

El techo de la función depende de la propiedad de Arquímedes.

$$\lceil x \rceil = \min \lbrace n \in \mathbb{Z} \colon n \geqslant x \rbrace$$

Si la propiedad de Arquímedes no se sostiene, tendría que tener el mínimo de un conjunto vacío para algunos $x$.

Por lo tanto la prueba es circular.

Answer 2

El techo de la función no depende de la integridad: su restricción a $\Bbb Q$ está bien definido, y los racionales no están completas. No, estrictamente hablando, dependen de la propiedad de Arquímedes: es perfectamente posible definir $\lceil x\rceil$ $\min\{n\in\Bbb Z:x\le n\}$ cuando existe mínimo, y luego a preguntar cuál es el dominio de esta función ceiling es. Es que el dominio que depende de la propiedad de Arquímedes: el de Arquímedes propiedad es equivalente a la afirmación de que el dominio de la función ceiling es $\Bbb R$.

Ya que su argumento se basa en el hecho de que el dominio de la función ceiling es todo de $\Bbb R$, y que el hecho de que es equivalente al hecho de que $\Bbb R$ tiene la propiedad de Arquímedes, su argumento es de hecho circular.