Números de Fibonacci interpolados: ¿reales o complejos?

Question

La fórmula de Binet común para los números de Fibonacci $$ f_n = {\varphi^n- (1-\varphi)^n \over \sqrt 5 } \small {\qquad \qquad \text{ where }\varphi={1+\sqrt 5\over 2}}$$

permite la interpolación a índices negativos y fraccionarios, sin embargo para índices no naturales tenemos en general valores complejos (y además perdemos la unicidad debido a las potencias fraccionarias de una base negativa). Este es el esquema de interpolación al que estoy acostumbrado.

En el mathworld-article sobre los números de Fibonacci encontré ahora la fórmula para la interpolación a índices no enteros como $$ f^*_x = {\varphi^x-\cos(\pi x) \varphi^{-x} \over \sqrt 5 } $$ que garantiza valores reales también para los números de fibonacci interpolados. Aunque me gusta la idea de encontrar alguna interpolación de números reales para el índice que lleve también a números reales en el rango, sigue pareciendo un poco fea debido a la asimetría y se siente un poco como una manipulación; comparemos la discusión sobre cuál es la mejor interpolación para el factorial y por qué elegimos la función Euler-gamma para esto.... Un argumento que me hizo confiar en que la interpolación de Binet es "la correcta" es similar al mismo (posible) argumento para la función gamma de Euler: coincide también con el concepto de suma indefinida, ampliado a índices de suma fraccionarios e incluso complejos.

Ahora en el artículo de mathworld no hay más razonamiento sobre esto y por eso pensé en preguntar aquí:

Q El problema de la interpolación: ¿hay alguna otra razón para este tipo de interpolación que no sea la no imaginabilidad de los valores resultantes para los índices reales?
(una referencia instructiva también sería bienvenida...)

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[actualización] Sólo para la intuición: aquí hay una imagen que muestra la curva en el plano complejo para los números de fibonacci debido a la fórmula de Binet para los índices fraccionarios (pero estrictamente reales). Para evitar la superposición de $\text{fib}(1)=\text{fib}(2)=1$ Utilicé una versión ligeramente desplazada para los números de fibonacci, estableciendo $\text{fib}^*(0)=0.1, \text{fib}^*(1)=1.1$ y que la curva comience en el índice $-4$ :
:

y el detalle de un segmento de la curva que se superpone a sí mismo

(La versión "sólo real" que utiliza el cofactor cos() en la fórmula daría simplemente la línea recta en el eje x mismo, pero con movimientos de ida y vuelta para los índices negativos).

Answer 1

Me gusta la sección "talk" de la wikipedia, Talk:Generalizaciones_de_los_números_de_Fibonacci . Cito lo que dicen en su informe.

Según la fórmula de Binet,

$$F_n = \frac{\varphi^n-\psi^n}{\varphi-\psi} = \frac{\varphi^n-\psi^n}{\sqrt 5}$$

Desde $\psi = -\frac{1}{\varphi}$ esta fórmula también puede escribirse como

$$F_n = \frac{\varphi^n-(-\varphi)^{-n}}{\sqrt 5}$$

Ahora bien, si se tiene en cuenta la $-1$ fuera del $-\varphi$ , se obtiene

$$F_n = \frac{\varphi^n-(-1)^{-n}\varphi^{-n}}{\sqrt 5}$$ ... Y de la identidad de Euler, $-1 = e^{i\pi}$ Así que

$$F_n = \frac{\varphi^n-e^{i\pi n}\varphi^{-n}}{\sqrt 5}$$

Ok, ahora continuando con mi propio.... Y por la fórmula de Euler, $e^{i\pi n} = \cos (\pi n) + i \sin (\pi n)$ por lo que la solución de Binet puede expresarse de forma equivalente como $F_1$ para distinguirlo de su conjugado complejo.

$$F_1(z) = \frac{\varphi^z-(\cos (\pi z) + i \sin (\pi z))\varphi^{-z}}{\sqrt 5}$$

Existe una definición alternativa, con $-1 = e^{-i\pi}$ lo que lleva a la solución compleja conjugada, que etiquetaré como $F_2$ .

$$F_2(z) = \frac{\varphi^z-(\cos (\pi z) - i \sin (\pi z))\varphi^{-z}}{\sqrt 5}$$

Debido al hecho de que las combinaciones lineales de soluciones a la relación de recurrencia de Fibonacci son también soluciones, podemos promediar $F_1$ y $F_2$ juntos, y obtener la solución realmente valorada, $F_{\text{real}}(z)$ donde en el eje real, el término imaginario se cancela con su conjugado.

$$F_\text{real}(z) = \frac{F_1(z)+F_2(z)}{2} = \frac{\varphi^z-\cos (\pi z) \varphi^{-z}}{\sqrt 5}$$

Creo que ambas soluciones son igualmente válidas, y quizás a veces parece más natural tener una solución de valor real, y esta derivación muestra de dónde viene el término "cos" en esa solución. Como he señalado en comentarios anteriores, también hay un comportamiento interesante para la función "ratio" para estas diversas soluciones, $r(z)=\frac{F(z+1)}{F(z)}$ que quizás publique más tarde, que conecta la solución compleja con la solución formal de la función de Schroeder para la función de razón.

Answer 2

Esto es para Gottfried, y para cualquiera que esté interesado en cómo se relaciona un mapeo de tetración estilo Kneser con la extensión de Fibonacci de valor real. Otra forma completamente diferente de ver estas dos funciones de Fibonacci, es ver la función de razón,

$$r(z)=\frac{f(z+1)}{f(z)}$$

Tengo dos conjeturas, que he publicado antes en los comentarios, de las que voy a dar pruebas numéricas. 1) La función de Schroeder del punto fijo $r\mapsto 1+1/r$ , conduce a una solución para la función iterada $r^z$ , que, con una constante, es la misma que la fórmula de Binet para la función de Fibonacci. 2) Una cartografía kneser de $r^z$ conduce a la solución alternativa de valor real de Fibonacci.

La función de proporción tiene dos puntos fijos, $\varphi$ y $1-\varphi$ que puede derivarse de la siguiente manera:

$$r(z+1)=\frac{f(z+2)}{f(z+1)}=\frac{f(z+1)+f(z)}{f(z+1)}=1+\frac{f(z)}{f(z+1)}$$ $$r(z+1)=1+\frac{1}{r(z)}$$

Así pues, ahora vemos que r(z) es en sí misma una función iterada, que puede resolverse para sus puntos fijos, donde $r(z+1)=r(z)$ si $r(z)=\varphi$ o si $r(z)=1-\varphi$ . Estos puntos fijos se pueden encontrar resolviendo la ecuación cuadrática, $x^2-x-1=0$ cuyas raíces son $\frac{1 \pm\sqrt{5}}{2}$ .

Así que, ahora que tenemos r(z) y sus puntos fijos, es natural considerar la función de Schroeder, $S(z)$ y la inversa de la función de Schroeder $S^{-1}(z)$ para r(z). Desarrollé la función de Schroeder alrededor del punto fijo de repulsión, $1-\varphi$ . Desplazamos el punto fijo a la vecindad de cero, definiendo la sustitución $z=y+1-\varphi$ y definiendo $r_y(y+1)=\frac{\varphi r(y)}{r(y)-\varphi+1}$ y entonces tenemos $r_y(y+1) \approx -(\varphi+1)r_y(y)$ . Así que definimos $\lambda=-(\varphi+1)$ y luego desarrollar la función de Schroeder y su inversa, tanto la función de Schroeder como su inversa resultan tener formas cerradas sorprendentemente sencillas.

$$S(r_y o z) = \lambda S(z)$$ $$S(z)= 1 + 5^{-0.5}z + 5^{-1}z^2 + 5^{-1.5}z^3 + 5^{-2}z^4 + 5^{-2.5}z^5 +...$$ $$S^{-1}(z)= 1 - 5^{-0.5}z + 5^{-1}z^2 - 5^{-1.5}z^3 + 5^{-2}z^4 - 5^{-2.5}z^5 +...$$

Ahora se puede generar la función Abel, y su inversa, que tienen la misma definición de función iterada que la relación de la función ratio, $r(z)$ . La función Abel es la inversa de la función ratio, donde $\alpha(z)$ generado a partir de la función de Schroeder es $\alpha(z) = \log_\lambda(S(z+\varphi-1))$ . También se puede definir la función inversa de Abel, que tiene exactamente la misma definición iterada que la función de razón $r(z)$ . $$\alpha^{-1}(z) = S^{-1}(\lambda^z)+1-\varphi$$

Entonces, ¿qué sucede si tomamos la $\alpha \circ r(z)$ , donde $r(z)$ se genera a partir de la fórmula de Binet? Numéricamente, la respuesta es z + una simple constante. No estoy seguro de cómo demostrar el resultado (tengo muchas ideas, pero no tengo suficiente tiempo ahora mismo). Esta es la primera parte de mi conjetura.

$\alpha(r(z)) = z + k$ donde k es una constante, $k \approx 0.985941029676055376744 + 0.0458920121936640893630i $ . Esto nos lleva a la siguiente definición alternativa equivalente para la función de proporción, desarrollada a partir de la solución de Binet de Binet. Hay dos opciones para la $\pm\exp(\pi iz)$ término, y hay que elegir el emparejamiento correcto, con el $\alpha$ función.

$$r(z) = \alpha^{-1}(z+k)$$ $$f(z) = \frac{\varphi^{z+1}}{\alpha^{-1}(z+k)\varphi+1} = \frac{\varphi^z-\exp(-\pi i z)\varphi^{-z}}{\sqrt{5}}$$

La última línea da una forma equivalente conjeturada para la fórmula de Fibonacci de Binet, en términos de la función de razón, desarrollada a partir de la ecuación de Schroeder. La pieza clave de este trabajo fue generar la función de Fibonacci a partir de la función de razón, $r(z)$ . Utilicé esta fórmula, encontrada en línea en Fórmulas de Fibonacci y un poco de álgebra ....
$$\varphi^n = f(n+1) + f(n)/\varphi$$ $$f(z) = \frac{\varphi^{z+1}}{(\varphi f(z+1)/f(z)+1)}$$ $$f(z) = \frac{\varphi^{z+1}}{(\varphi r(z)+1)}$$

Pude obtener una precisión de más de 60 dígitos decimales, utilizando esta ecuación. Obtuve resultados igualmente precisos para la segunda mitad de mi conjetura, tomando la función de Abel de la función de razón para la función de Fibonacci de valor real. El $\theta(z)$ puede definirse como sigue, lo que lleva a la Kneser $\theta$ ecuación de mapeo para la versión de valor real de f(z) de la función de Abel. Los coeficientes de la función theta(z) se enumeran a continuación. Por supuesto, resulta que $\theta(z)$ tiene una singularidad en el eje real, así que generé y verifiqué el mapeo theta 1-cíclico a través de una transformada de Fourier en $\Im(z)=0.1i$ La singularidad se produce donde $r(z)=\varphi$ que se produce en z=n+0,5 para los enteros, donde $\theta(z)$ va a $-i\infty$ . El $\theta(z)$ tiene la misma forma 1-cíclica que tiene para un mapeo de Kneser utilizado en el cálculo de la tetración, donde $\theta(z)$ decae exponencialmente a una constante como $\Im(z)$ aumenta, y tiene una singularidad en el eje real. $\theta(z)$ mapea una función de razón de valor complejo de la ecuación de Schroeder, en una función de razón de valor real, que lleva a una función de Fibonacci de valor real. Podría publicar el código pari-gp que escribí para el problema de Fibonacci.... Los mayores obstáculos son averiguar el logaritmo correcto para la función abel, y los problemas normales de programación. Hay algunos gráficos bonitos, que he añadido a continuación.

$$\alpha(r_{\text{real}}(z)) = z + \theta(z) = z + \sum_{n = 0}^{\infty} a_n\times \exp(2n\pi i z) $$ $$\theta(z) = \sum_{n = 0}^{\infty} a_n\times \exp(2n\pi i z) = \alpha(r_{\text{real}}(z)) -z$$ $$f_\text{real}(z) = \frac{\varphi^{z+1}}{\alpha^{-1}(z+\theta(z))\varphi+1} = \frac{\varphi^z-\cos(\pi z)\varphi^{-z}}{\sqrt{5}}$$ - Sheldon

Aquí están los 100 primeros coeficientes de $\theta(z)$ , impreso con una precisión de aproximadamente 28 dígitos decimales. Generé una serie de 200 términos, y verifiqué que los resultados coincidían con la definición de Fibonacci de valor real, con una precisión de aproximadamente 55 dígitos decimales.

a0=   1.04773332894435818689238486499 - 0.1558135811857976133389093993*I
a1=  -0.08914744371950718632557515378 + 0.2909996592881151279321051050*I
a2=   0.04457372185975359316278757689 - 0.1454998296440575639660525525*I
a3=  -0.02971581457316906210852505126 + 0.09699988642937170931070170167*I
a4=   0.02228686092987679658139378845 - 0.07274991482202878198302627625*I
a5=  -0.01782948874390143726511503076 + 0.05819993185762302558642102100*I
a6=   0.01485790728658453105426252563 - 0.04849994321468585465535085083*I
a7=  -0.01273534910278674090365359340 + 0.04157137989830216113315787214*I
a8=   0.01114343046493839829069689422 - 0.03637495741101439099151313812*I
a9=  -0.009905271524389687369508350420 + 0.03233329547645723643690056722*I
a10=  0.008914744371950718632557515378 - 0.02909996592881151279321051050*I
a11= -0.008104313065409744211415923071 + 0.02645451448073773890291864591*I
a12=  0.007428953643292265527131262815 - 0.02424997160734292732767542542*I
a13= -0.006857495670731322025044242599 + 0.02238458917600885599477731577*I
a14=  0.006367674551393370451826796699 - 0.02078568994915108056657893607*I
a15= -0.005943162914633812421705010252 + 0.01939997728587434186214034033*I
a16=  0.005571715232469199145348447111 - 0.01818747870550719549575656906*I
a17= -0.005243967277618069783857361987 + 0.01711762701694794870188853559*I
a18=  0.004952635762194843684754175210 - 0.01616664773822861821845028361*I
a19= -0.004691970722079325596082902831 + 0.01531577154147974357537395289*I
a20=  0.004457372185975359316278757689 - 0.01454998296440575639660525525*I
a21= -0.004245116367595580301217864466 + 0.01385712663276738704438595738*I
a22=  0.004052156532704872105707961536 - 0.01322725724036886945145932295*I
a23= -0.003875975813891616796764137121 + 0.01265215909948326643183065674*I
a24=  0.003714476821646132763565631408 - 0.01212498580367146366383771271*I
a25= -0.003565897748780287453023006151 + 0.01163998637152460511728420420*I
a26=  0.003428747835365661012522121299 - 0.01119229458800442799738865788*I
a27= -0.003301757174796562456502783473 + 0.01077776515881907881230018907*I
a28=  0.003183837275696685225913398349 - 0.01039284497457554028328946804*I
a29= -0.003074049783431282287088798406 + 0.01003447100993500441145190017*I
a30=  0.002971581457316906210852505126 - 0.009699988642937170931070170167*I
a31= -0.002875723990951844720179843670 + 0.009387085783487584772003390484*I
a32=  0.002785857616234599572674223556 - 0.009093739352753597747878284531*I
a33= -0.002701437688469914737138641024 + 0.008818171493579246300972881970*I
a34=  0.002621983638809034891928680994 - 0.008558813508473974350944267794*I
a35= -0.002547069820557348180730718679 + 0.008314275979660432226631574429*I
a36=  0.002476317881097421842377087605 - 0.008083323869114309109225141806*I
a37= -0.002409390370797491522312841994 + 0.007864855656435543998165002838*I
a38=  0.002345985361039662798041451415 - 0.007657885770739871787686976447*I
a39= -0.002285831890243774008348080866 + 0.007461529725336285331592438590*I
a40=  0.002228686092987679658139378845 - 0.007274991482202878198302627625*I
a41= -0.002174327895597736251843296434 + 0.007097552665563783608100124512*I
a42=  0.002122558183797790150608932233 - 0.006928563316383693522192978690*I
a43= -0.002073196365569934565711050088 + 0.006767433936932909951909421046*I
a44=  0.002026078266352436052853980768 - 0.006613628620184434725729661477*I
a45= -0.001981054304877937473901670084 + 0.006466659095291447287380113444*I
a46=  0.001937987906945808398382068560 - 0.006326079549741633215915328370*I
a47= -0.001896754121691642262246279868 + 0.006191482112513087828342661808*I
a48=  0.001857238410823066381782815704 - 0.006062492901835731831918856354*I
a49= -0.001819335586112391557664799057 + 0.005938768556900308733308267449*I
a50=  0.001782948874390143726511503076 - 0.005819993185762302558642102100*I
a51= -0.001747989092539356594619120662 + 0.005705875672315982900629511863*I
a52=  0.001714373917682830506261060650 - 0.005596147294002213998694328942*I
a53= -0.001682027239990701628784436864 + 0.005490559609209719394945379340*I
a54=  0.001650878587398281228251391737 - 0.005388882579409539406150094537*I
a55= -0.001620862613081948842283184614 + 0.005290902896147547780583729182*I
a56=  0.001591918637848342612956699175 - 0.005196422487287770141644734018*I
a57= -0.001563990240693108532027634277 + 0.005105257180493247858457984298*I
a58=  0.001537024891715641143544399203 - 0.005017235504967502205725950086*I
a59= -0.001510973622364528581789409386 + 0.004932197615052798778510256017*I
a60=  0.001485790728658453105426252563 - 0.004849994321468585465535085083*I
a61= -0.001461433503598478464353691046 + 0.004770486217837952916919755820*I
a62=  0.001437861995475922360089921835 - 0.004693542891743792386001695242*I
a63= -0.001415038789198526767072621489 + 0.004619042210922462348128652460*I
a64=  0.001392928808117299786337111778 - 0.004546869676376798873939142266*I
a65= -0.001371499134146264405008848520 + 0.004476917835201771198955463154*I
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a80=  0.001114343046493839829069689422 - 0.003637495741101439099151313812*I
a81= -0.001100585724932187485500927824 + 0.003592588386273026270766729691*I
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a84=  0.001061279091898895075304466116 - 0.003464281658191846761096489345*I
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a86=  0.001036598182784967282855525044 - 0.003383716968466454975954710523*I
a87= -0.001024683261143760762362932802 + 0.003344823669978334803817300057*I
a88=  0.001013039133176218026426990384 - 0.003306814310092217362864830739*I
a89= -0.001001656671005698722759271391 + 0.003269659093124889077888821404*I
a90=  0.0009905271524389687369508350420 - 0.003233329547645723643690056722*I
a91= -0.0009796422386759031464348917997 + 0.003197798453715550856396759396*I
a92=  0.0009689939534729041991910342802 - 0.003163039774870816607957664185*I
a93= -0.0009585746636506149067266145568 + 0.003129028594495861590667796828*I
a94=  0.0009483770608458211311231399338 - 0.003095741056256543914171330904*I
a95= -0.0009383941444158651192165805661 + 0.003063154308295948715074790579*I
a96=  0.0009286192054115331908914078519 - 0.003031246450917865915959428177*I
a97= -0.0009190458115413111992327335441 + 0.002999996487506341525073248505*I
a98=  0.0009096677930561957788323995284 - 0.002969384278450154366654133724*I
a99= -0.0009004792294899715790462136746 + 0.002939390497859748766990960657*I
a100=  0.0008914744371950718632557515378 - 0.002909996592881151279321051050*I

Esta es la función de relación para la solución de Binet. A medida que imag(z) aumenta, o real(z) disminuye, la función de relación va a $1-\varphi$ a medida que imag(z) disminuye o real(z) aumenta, la función de relación va al otro punto fijo $\varphi$ . Hay una singularidad para la función de proporción en $z=0$ donde Fib(z)=0. La función de proporción es periódica, con $\text{period}=\frac{2\pi i}{\log(-\varphi-1)}$ . El espaciado de las líneas de la cuadrícula es de dos unidades, y todos los gráficos varían de 5+4i a -5-4i.

Esta es la función de relación para la solución de Fibonacci de valor real. A medida que imag(z) aumenta, converge rápidamente a la imagen anterior. Hay una singularidad para la función de razón en $z=0$ donde Fib(z)=0. La función de relación no se comporta tan bien para z<0, en el eje real, con polos simples repetidos, pero se comporta razonablemente bien para z>0 en el eje real, ya que la función de relación de valor real tiene ciclos hacia $\varphi$ . La función es pseudo periódica, con $\text{period}\approx\frac{2\pi i}{\log(-\varphi-1)}$ en la mitad superior del plano complejo. Como la función tiene valor real en el eje real, para $\Im(z)<0$ , va a la función conjugada.

Esta es la solución de Binet Fibonacci.

Y aquí está la solución de Fibonacci de valor real, que se parece a la solución de Binet en la mitad superior del plano complejo, y la solución conjugada en la mitad inferior del plano complejo; pero sólo la función de razón tiene un mapeo cíclico riguroso.