En mi libro, estoy haciendo un ejercicio que dice que se puede utilizar el hecho de que si $U$ es un subespacio de $\mathbb{R}^n$, e $U\cap\mathbb{R}_+^n=\{0\}$, donde $$ \mathbb{R}_+^n=\{(a_1,\dots,a_n)\mediados de a_i\geq 0\}, $$ a continuación, $U^\perp$ contiene una muy positivo vector, es decir, un vector cuyas coordenadas son todas positivas.
Yo podría hacer el ejercicio, pero no me gusta el uso de un hecho que no puede probar. Hay alguna referencia o prueba de este hecho disponible?
Como Julio Cáceres, dijo, la separación teorema de los trabajos aquí: desde $U$ $P=\{a\in\mathbb R^n: \forall i \ a_i>0\}$ son distintos conjuntos convexos, con $P$ ser abierto, existe un funcional lineal $f:\mathbb R^n\to\mathbb R$ tal que $f\le 0$$U$$f>0$$P$. Desde $U$ es un subespacio lineal, $f\le 0$ $U$ es posible sólo si $f\equiv 0$$U$. Escrito $f$ en términos de producto interior, $f(x)=\langle x,v\rangle$, se obtiene el vector deseado $v$.
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