Cómo probar esto $\cos{x}+\cos{y}+\cos{z}=1$

Question

Pregunta:

dejar $x,y,z\in R$ y tal $x+y+z=\pi$ y tal $$\tan{\dfrac{y+z-x}{4}}+\tan{\dfrac{x+z-y}{4}}+\tan{\dfrac{x+y-z}{4}}=1$$ demostrar que $$\cos{x}+\cos{y}+\cos{z}=1$$

Mi idea: dejar que $$x+y-z=a,x+z-y=b,y+z-x=c$$ entonces $$a+b+c=\pi$$ y $$\tan{\dfrac{a}{4}}+\tan{\dfrac{b}{4}}+\tan{\dfrac{c}{4}}=1$$ sólo probamos $$\cos{\dfrac{b+c}{2}}+\cos{\dfrac{a+c}{2}}+\cos{\dfrac{a+b}{2}}=1$$ Utilice $$\cos{\dfrac{\pi-x}{2}}=\sin{\dfrac{x}{2}}$$ $$\Longleftrightarrow \sin{\dfrac{a}{2}}+\sin{\dfrac{b}{2}}+\sin{\dfrac{c}{2}}=1$$ dejar $$\tan{\dfrac{a}{4}}=A,\tan{\dfrac{b}{4}}=B,\tan{\dfrac{\pi}{4}}=C$$ entonces $$A+B+C=1$$ y utilizar $$\sin{2x}=\dfrac{2\tan{x}}{1+\tan^2{x}}$$ por lo que sólo probamos $$\dfrac{2A}{1+A^2}+\dfrac{2B}{1+B^2}+\dfrac{2C}{1+C^2}=1$$

otra idea:dejar que $$\dfrac{y+z-x}{4}=a,\dfrac{x+z-y}{4}=b,\dfrac{x+y-z}{4}=c$$ entonces tenemos $$a+b+c=\dfrac{\pi}{4},\tan{a}+\tan{b}+\tan{c}=1$$ sólo probamos $$\cos{(2(b+c)}+\cos{2(a+c)}+\cos{2(a+b)}=\sin{(2a)}+\sin{(2b)}+\sin{(2c)}=1$$ entonces me cayó muy feo, ¿alguno puede ayudar?

¡Muchas gracias!

Answer 1

Mirando hacia abajo en el octante positivo , ( las puntas de las flechas son ejes de coordenadas).

$x+y+z=\pi$ ( el plano de color cian. )

$\cos{x}+\cos{y}+\cos{z}=1$ ( la zona de color rosa. )

$\tan{\dfrac{y+z-x}{4}}+\tan{\dfrac{x+z-y}{4}}+\tan{\dfrac{x+y-z}{4}}=1$ (la zona de color gris claro).

Puedo ver tres soluciones donde la zona central gris, rodeada por el triángulo rosa se encuentra con el plano cian.

¡Sólo una foto!

Answer 2

Una interesante vista de la superficie $ \cos x + \cos y + \cos z = 1 $ Se han añadido tres líneas (en rojo) para mayor claridad. Podemos ver que incluso a lo largo del plano $ x + y + z = \pi $ debemos añadir una red de líneas para abarcar la condición de periodicidad simple.

Answer 3

Ahora, tengo la solución de este problema: dejar $x,y,z\in R$ y tal $x+y+z=\pi$ y $$\tan{\dfrac{y+z-x}{4}}+\tan{\dfrac{x+z-y}{4}}+\tan{\dfrac{x+y-z}{4}}=1$$ demostrar que $$\cos{x}+\cos{y}+\cos{z}=1$$ $$\dfrac{y+z-x}{4}=a,\dfrac{x+z-y}{4}=b,\dfrac{x+y-z}{4}=c$$ tenemos $$a+b+c=\dfrac{\pi}{4},\tan{a}+\tan{b}+\tan{c}=1$$ sólo demostramos lo siguiente $$\cos{(2(b+c)}+\cos{2(a+c)}+\cos{2(a+b)}=\sin{(2a)}+\sin{(2b)}+\sin{(2c)}=1$$ desde $$\tan{a}+\tan{b}+\tan{(\dfrac{\pi}{4}-a-b)}=1\Longrightarrow \tan{a}+\tan{b}+\dfrac{1-\tan{(a+b)}}{1+\tan{(a+b)}}=1$$ $$\tan{a}+\tan{b}=\dfrac{2\tan{(a+b)}}{1+\tan{(a+b)}}$$ $$\Longrightarrow 1=\tan{a}+\tan{b}-\tan{a}\tan{b}$$ entonces $$\sin{(a+b)}=\cos{(a-b)}$$ por otro lado tenemos \begin{align*}\sin{(2x)}+\sin{(2y)}+\sin{(2z)}&=2\sin{(x+y)}\cos{(x-y)}+1-2\sin^2{(x+y)}\\ &=2\sin{(x+y)}[\cos{(x-y)}-\sin{(x+y)}]+1\\ &=1 \end{align*}