$C^1$ diffeomorphism, pero no $C^\infty$

Question

Puede usted pensar en un $C^1$ bijection $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ $f^{-1}$ también de la clase $C^1$ pero $f$ no es de la clase de $C^\infty$?

He estado tratando de construir uno a partir de algunos de costumbre ejemplos de $C^1$ funciones que no son $C^\infty$ (como $x\mapsto \mid x\mid^3$), pero no están aún bijective o definido en todas las $\mathbb{R}$. Y también algunos de costumbre ejemplos de suave homeomorphisms que no son diffeomorphisms (como $x\mapsto x^3$) no hacer el trabajo aquí porque su inversa no es ni siquiera diferenciable.

Answer 1

Usted no tiene que cambiar mucho para que sus ejemplos para hacerles el trabajo, usted sólo tiene que asegurarse de que la derivada no es cero en cualquier lugar. Por ejemplo, $f(x) = x|x|+x$ es derivable y tiene inversa diferenciable, pero no es suave.

Edit: Detalles para afrontar @stresset-out comentario:

La inversa de esta función está dada por $$ f^{-1}(y) = \casos{\frac{1-\sqrt{1-4y}}{2} & si $y\leq 0$\\\frac{1+\sqrt{1+4y}}{2}& si $y>0$} $$y podemos ver que esta definición evita cualquier problemática puntos con las raíces cuadradas.

Answer 2

La función de $f(x) = \int_0^x(1+|t|)\, dt$ tiene esta propiedad.