¿Decidiendo cuándo dejar caer los valores absolutos en una ecuación diferencial?

Question

Actualmente estoy resolviendo la siguiente ecuación diferencial (el enlace lleva a otra publicación):

$\dfrac{dr}{d \theta}+r\tan \theta =\frac{1}{\cos \theta}$

Lo anterior está en forma estándar (es decir, $\dfrac{dr}{d\theta}+P(\theta)r=Q(\theta)$). Por lo tanto, puedo proceder a resolver el factor integrante:

$\mu(\theta)=e^{\int_{} P(\theta) d\theta}=e^{\int_{} \tan(\theta) d\theta} =e^{-\ln(|\cos(\theta)|)}=|\cos(\theta)|^{-1}$

Multiplicando toda la ecuación por el factor de integración nos permite usar la propiedad "Derivada de un Producto" para obtener lo siguiente:

$\dfrac{d}{dx}(|\cos(\theta)|^{-1}r)=|\cos(\theta)|^{-1}\sec(\theta)$

Integrando ambos lados obtenemos una integral "difícil":

$\int_{} \dfrac{1}{|\cos(\theta)|\cos(\theta)} d\theta$

Sin embargo, de acuerdo con la solución dada aquí, el valor absoluto se omite en el factor integrante (creando así un problema más fácil), lo que significa que $\mu(\theta)=(cos(\theta))^{-1}$. Pero, ¿por qué se me permite omitir el valor absoluto? Nada en el problema especifica el dominio de $\theta$ o $r` y claramente, $|\cos(\theta)|\cos(\theta)\neq \cos^2(\theta)$ para todos los valores de $\theta$.

Answer 1

$|\cos(\theta)|^{-1}$, o más bien $\int \frac{d\theta}{|\cos\theta|\cos \theta}$, diverge a infinito para $\theta\to\pm\pi/2$ -- así que si solo estás interesado en el componente conectado de la solución que contiene $\theta=0$, solo estará definido en el intervalo abierto $(-\pi/2,\pi/2)$ de todos modos. En este intervalo $\cos(\theta)$ siempre es positivo, y por lo tanto $|\cos(\theta)|=\cos(\theta)$.

Answer 2

\begin{align}&\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+g(x)\,y=h(x)\tag1\\ \iff{}& e^{\int g(x)\,\mathrm{d}x}\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+e^{\int g(x)\,\mathrm{d}x}g(x)\,y=e^{\int g(x)\,\mathrm{d}x}h(x)\\ \iff{}& \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(e^{\int g(x)\,\mathrm{d}x}\,y\right)=e^{\int g(x)\,\mathrm{d}x}h(x)\\ \iff{}& y=\frac1{e^{\int g(x)\,\mathrm{d}x}}\int e^{\int g(x)\,\mathrm{d}x}h(x)\,\mathrm{d}x \end{align} for $\displaystyle\int g(x)\,\mathrm dx=\ln|f(x)|+C:\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad(2)$ \begin{align} \iff{}& y=\frac1{e^C|f(x)|}\int e^C|f(x)|h(x)\,\mathrm{d}x\\ \iff{}& y=\begin{cases}\frac1{-f(x)}\int -f(x)h(x)\,\mathrm{d}x, &&x<0; \\ \frac1{f(x)}\int f(x)h(x)\,\mathrm{d}x, &&x\ge0 \end{cases} \\ \iff{}& y=\frac1{f(x)}\int f(x)h(x)\,\mathrm{d}x. \end{align}

Por lo tanto, la solución de la EDO (1) no se ve afectada al eliminar el símbolo de valor absoluto de (2) dentro de su factor de integración.

Answer 3

Los valores absolutos se originan a partir de integrales logarítmicas como

$$\int\frac{dx}{x}=\log{|x|}+C,$$

y a menudo se toma el antilogaritmo, dando

$$e^{\log{|x|}+C}=C'|x|.$$

Pero $x=0$ corresponde a una singularidad y no debe cruzarse (de lo contrario, la integral es impropia). Así que todos los $x$ deben tener el mismo signo, por lo que las expresiones correctas deberían ser

$$\log x\text{ o }\log(-x)$$

y

$$C'x$$ respectivamente, donde $C'$ puede ser positivo o negativo.

Y si no se requiere diferenciabilidad en $x=0$, puedes tener dos piezas distintas,

$$\begin{cases}x<0\to C_-x,\\x>0\to C_+x.\end{cases}$$