Encontrar: $$\lim_{x\to 0}\ \frac{\dfrac{\sin x}{x} - \cos x}{2x \left(\dfrac{e^{2x} - 1}{2x} - 1 \right)}$$ He factorizados de esta manera en un intento de utilizar las fórmulas.
He tratado de usar que para $x$ tiende a $0$, $\dfrac{\sin x}{x} = 1$ y que $\dfrac{e^x - 1}x$$1$.
Se le da
$$\lim_{x\to 0}\ \frac{\dfrac{\sin x}{x} - \cos x}{2x \left(\dfrac{e^{2x} - 1}{2x} - 1 \right)}$$
Supongo que usted sabe
$$\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1$$
$$\lim_{x\to 0} \dfrac{e^{2x} - 1}{2x}=1$$
El más saludable forma de solucionar esto es el uso de
$$\frac{\sin x}{x} = 1-\frac {x^2}{6}+o(x^2)$$
$$\frac{e^x-1}{x}=1+\frac x 2 +o(x^2)$$
$$\cos x = 1-\frac {x^2}{2}+o(x^2)$$
Esto le da
$$\lim_{x\to 0}\ \frac{\dfrac{\sin x}{x} - \cos x}{2x \left(\dfrac{e^{2x} - 1}{2x} - 1 \right)}$$
$$\eqalign{ & \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \;\frac{{1 - \dfrac{{{x^2}}}{6} + o({x^2}) - 1 + \dfrac{{{x^2}}}{2} - o({x^2})}}{{2x\left( {1 + x + o({x^2}) - 1} \right)}} \cr & \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \;\frac{{\dfrac{{{x^2}}}{3} + o\left( {{x^2}} \right)}}{{2{x^2} + 2xo\left( {{x^2}} \right)}} \cr & \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \;\frac{{\dfrac{1}{3} + \dfrac{{o\left( {{x^2}} \right)}}{{{x^2}}}}}{{2 + 2\dfrac{{o\left( {{x^2}} \right)}}{{{x^2}}}}} = \dfrac{1}{6} \cr} $$ Tenga en cuenta que
$$\eqalign{ & \frac{{o\left( {{x^2}} \right)}}{{{x^2}}} \0 \cr & \frac{{2o\left( {{x^2}} \right)}}{x} \0 \cr} $$
SUGERENCIA: Este límite tiene una muy hermosa conexión a otro límite, es decir, $\lim_{x\rightarrow0} \frac{\tan(x)-x}{x^2} = 0 $ que puede ser elementarily demostrado, ver aquí. Es que vale la pena descubrir la conexión en el propio.
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