El espectro de un operador cerrado

Question

Podría alguien por favor explicar este hecho: si $A$ es un cerrado operador y $A^{-1}$ es un operador compacto, entonces el espectro de la $A$ consisten sólo de autovalores?

Se me olvidó mencionar que el operador $A^{-1}$ es acotado, sino $A$ no es continuo.

Answer 1

Supongo que te refieres a que $A$ es un continuo lineal bijection en un espacio de Banach .Deje $s$ pertenecen al espectro de $A$.Deje $(v_n)_n$ ser una secuencia con $||v_n||=1$ por cada $n$ e con $(||A v_n-s v_n||)_n$ convergentes a $0$.Ahora $A^{-1}$ es compacto, y $\{A v_n-s v_n\}_n$ es un conjunto acotado ( porque la secuencia converge a $0$ ) de modo que existe una larga de $(v_n)_n$,que vamos a llamar a $(w_n)_n$, por lo que $(A^{-1}(A w_n-s w_n))_n$ $=(w_n-A^{-1} s w_n)_n$ es convergente para algunos $p$ . La continuidad de $A$ implica que $(A(w_n-A^{-1} s w_n))_n =$ $(A w_n-s w_n)_n$ converge a $A p$.Pero $(A w_n-s a_n)_n$ converge a $0$ $A p=0 , $ $A^{-1}$ existe, por lo $A p=0\implies p=0$.Por lo tanto $(w_n-A^{-1} s w_n)_n$ converge a $0$.Utilizamos la compacidad de $A^{-1}$ nuevo: La delimitada secuencia $( w_n)_n$ tiene una larga ,que vamos a llamar a $(x_n)_n$, por lo que $(A^{-1} s x_n)_n$ converge a algunos $q$, y desde $(x_n-A^{-1} s x_n)_n$ converge a $0$, la secuencia de $(x_n)_n$ debe converger a $q$.Tenga en cuenta que $q\neq 0$ porque $||x_n||=1$ por cada $n$.Finalmente tenemos $A q-s q=$ $\lim_{n\to \infty} A(x_n-A^{-1} s x_n)=0$. Por lo $s$ es un autovalor de a $A$. Nota: tomamos nota de que $q\neq 0$ en el caso de $s=0$, de lo contrario la sentencia de $A q-s q=0$ puede ser equivalente a $A0=0$.