La comprensión de la prueba: $d(f^*\omega)\overset{!}{=}f^*(d\omega)$

Question

Considere la posibilidad de este

La proposición: Vamos a $U\subset\mathbb{R}^n$ $V\subset\mathbb{R}^n$ ser abiertos y conjuntos de $\phi:U\to V$ ser diferenciable. Para todos los $k\in\mathbb{N}_0$ $\omega\in \Lambda^k(V)$ es cierto que

$$d(\phi^*\omega)=\phi^*(d\omega)$$

Estoy tratando de entender su prueba. Pero hay algunos pasos que no entiendo. Aquí están las primeras líneas de la

Prueba: En primer lugar vamos a $f\in \mathcal{C}^\infty (V)$ ser un differentialform de grado $0$. A continuación,$\phi^*(f)=f\circ\phi$. Por lo tanto \begin{eqnarray*} d(\phi^*(f)) &=&d(f\circ\phi)\\ &=&\sum_{j=1}^{n}\frac{\partial(f\circ\phi)}{\partial x_j}dx_j\\ &\overset{?}{=}&\sum_{i,j}\frac{\partial f}{\partial y_i}\circ\phi(\frac{\partial (\phi_i)}{\partial x_j}dx_j)\\ &=&\sum_{i=1}^{m}\frac{\partial f\circ\phi}{\partial y_i}d\phi_i\\ \end{eqnarray*}

He marcado la posición no entiendo con un signo de interrogación. Exactamente lo que sucede aquí?

Answer 1

El paso que no entiendo es simplemente la regla de la cadena, $y_i$ denota $\phi_i(x)$.

Answer 2

Como menciona Daniel, esto es sólo la regla de la cadena. En cuanto a tu comentario, creo que lo que está escrito en tu post no es correcto. Yo reclamo debe ser $$\sum_{i,j}\left(\frac{\partial f}{\partial y_i}\circ\phi\right)\cdot\left(\frac{\partial\phi_i}{\partial x_j}\right)dx_j$$ where $\cdot$ denotes multiplication of functions. Now you can see how it is just the chain rule. For two differentiable functions $f, g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, the composition $f \circ g :\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ is differentiable and $$(f\circ g)'(a) = f'(g(a))\cdot g'(a)$$ where $\cdot$ denotes multiplication of real numbers. Without the value $un$, this is just the statement that $$(f\circ g)' = (f'\circ g)\cdot g'$$ where $\cdot$ denota multiplicación de funciones.