¿Cuál es la diferencia entre Cauchy y convergente de la secuencia?

Question

Estoy realmente confundido. Agradezco si alguien me puede ayudar a definir la diferencia entre Cauchy y convergente de la secuencia.

Muchas gracias.

Answer 1

Deje $(X,d)$ ser un espacio métrico.

Definición. Una secuencia $(x_n)_{n\in\mathbb N}$ $x_n\in X$ todos los $n\in\mathbb N$ es una secuencia de Cauchy en $X$ si y sólo si para cada a $\varepsilon > 0$ existe $N\in\mathbb N$ tal que $d(x_n,x_m)<\varepsilon$ todos los $n,m>N$.

Informalmente hablando, una secuencia de Cauchy es una secuencia en la que los términos de la secuencia está cada vez más cerca y más cerca unos de otros.

Definición. Una secuencia $(x_n)_{n\in\mathbb N}$ $x_n\in X$ todos los $n\in\mathbb N$ es convergente si y sólo si existe un punto de $x\in X$ tal que para cada a $\varepsilon > 0$ existe $N\in\mathbb N$ tal que $d(x_n,x)<\varepsilon$. En esta situación podemos decir $x$ es un límite de la secuencia de $(x_n)_{n\in\mathbb N}$ o $(x_n)_{n\in\mathbb N}$ converge a $x$.

Informalmente hablando, una sucesión es convergente si los términos de la secuencia está cada vez más cerca y más cerca de algún punto de $x\in X$.

Un espacio métrico $X$ se dice completo si cada secuencia de Cauchy es convergente. Este es el caso de los espacios de $\mathbb R^n$, que es la razón por la que usted no puede ver la diferencia de los conceptos a primera vista.

Echemos un vistazo a un familiar de espacio métrico que es no completa, por lo que hemos secuencia de Cauchy que no son convergentes. Deje $X=\mathbb Q$ el conjunto de los números racionales con la métrica usual dado por $d(x,y)=\left|x-y\right|$. Considere la secuencia definida por $$ x_1 = 1,\quad x_{n+1} = 1+\frac{1}{1+x_n}. $$ Podemos demostrar que esta secuencia es una secuencia de Cauchy en $\mathbb Q$, pero no es $x\in \mathbb Q$ que es un límite de la secuencia.

¿Por qué es eso? Bien, piense en la misma secuencia como una secuencia en el espacio métrico $X=\mathbb R$, ahora podemos demostrar que $(x_n)_{n\in\mathbb N}$ converge a $\sqrt 2\in\mathbb R$, pero $\sqrt 2$ no $\mathbb Q$. Así, mientras que la secuencia converge en $\mathbb R$, no convergen en $\mathbb Q$. Sin embargo es una secuencia de Cauchy en ambos espacios.

Answer 2

Cuando usted tiene una secuencia convergente: $x_n\to\xi$, luego de un gran $n$ todos los puntos de $x_n$ son cerca de $\xi$, y por la desigualdad de triángulo que luego son cerca uno del otro, así como en el lenguaje formal: El $x_n$ automáticamente a formar una secuencia de Cauchy; no es gran cosa.

Pero:

En algunos espacios métricos $X$, entre ellos ${\mathbb R}$, ${\mathbb R}^n$, y ${\mathbb C}$, las converse también tiene: Una secuencia de Cauchy es automáticamente convergente. (Tales espacios son llamados completa.) Esta propiedad de los espacios es importante por la siguiente razón: para poner a prueba una secuencia $(x_n)_{\geq1}$ de Cauchy-ness usted sólo tiene que mirar en el $x_n$ sí, y usted no tiene que saber el límite de antemano. Cuando la secuencia pasa esto "finitary" de la prueba saber para asegurarse de que tiene un límite de $\xi\in X$.

En todos, el llamado criterio de Cauchy (real secuencias, por ejemplo) no es un poco de la proposición sobre la convergencia, pero un profundo teorema acerca de la estructura fina de ${\mathbb R}$.

Answer 3

Una secuencia convergente es también una secuencia de Cauchy.

Una secuencia de Cauchy no es necesariamente una secuencia convergente. Por ejemplo, si nuestro espacio es $X=\mathbb Q$, luego $$ x_n=\frac{\lfloor n\sqrt{2}\rfloor}{n}, $$
es una secuencia de Cauchy que NO converge es $\mathbb Q$. Se HACE converger es$\mathbb R$, pero no en $\mathbb Q$.

Un espacio métrico, donde cada secuencia de Cauchy converge se llama completa. El espacio de $\mathbb Q$ con métrica la distancia $|a-b|$ no está completa, mientras que $\mathbb R$ con la misma métrica es completa.

Answer 4

Cada convergente de la secuencia es una secuencia de cauchy. A la inversa puede, sin embargo, no se espera. Para las secuencias en $\mathbb{R}^k$ las dos nociones son iguales. Más generalmente llamamos un resumen de espacio métrico $X$ de manera tal que cada secuencia de cauchy en $X$ converge a un punto en $X$ un espacio métrico completo. Uno puede, por ejemplo, muestran que el espacio de funciones continuas en un conjunto compacto con el uniforme de la métrica es completa.

Como un ejemplo de un espacio que no está completa, considere el intervalo de $(0,1)$ y la secuencia de $1/n$, claramente $1/n$ es de cauchy, pero $1/n$ no es convergente en $(0,1)$ $0$ no $(0,1)$.

En contraste $[0,1]$ es plena, ya que es un subconjunto cerrado de completar el espacio $\mathbb{R}$.

Answer 5

Vamos a empezar en el espacio métrico $\mathbb{R}$ equipada con su normal métrica.

Una secuencia $\left(x_{n}\right)$ $\mathbb{R}$ es convergente si algunos de $x\in\mathbb{R}$ existe tal que para cada a $\varepsilon>0$ algunos $n_{0}\in\mathbb{N}$ se puede encontrar tal que $\left|x-x_{n}\right|<\varepsilon$ para cada una de las $n\geq n_{0}$. Si ese es el caso, entonces se puede demostrar que esta $x$ es único y la secuencia se dice que converge a $x$.

Una secuencia $\left(x_{n}\right)$ $\mathbb{R}$ es de Cauchy-secuencia si para cada a $\varepsilon>0$ $n_{0}\in\mathbb{N}$ se puede encontrar tal que $\left|x_{n}-x_{m}\right|<\varepsilon$ para cada par $n,m\in\mathbb{N}$ con $n,m\geq n_{0}$.

Se puede demostrar que una secuencia convergente es de Cauchy-secuencia. Este en cualquier espacio métrico.

En el caso que nos ocupa (espacio métrico $\mathbb{R}$) el opuesto también es cierto: cada Cauchy-secuencia en $\mathbb{R}$ es convergente de la secuencia.

Sin embargo, hay métrica espacios en el que el contrario no es cierto. Un ejemplo es $\mathbb{Q}$. Empezar con una secuencia $\left(x_{n}\right)$ en $\mathbb{R}$ que converge a algunos $x\in\mathbb{R}-\mathbb{Q}$ y sea que $x_{n}\in\mathbb{Q}$ por cada $n$. Es una de Cauchy-secuencia en $\mathbb{R}$ y es convergente en $\mathbb{R}$. Sin embargo, si nos fijamos en es como una secuencia en $\mathbb{Q}$, es todavía una de Cauchy-secuencia, pero no convergente, simplemente debido a $x\notin\mathbb{Q}$.

Espacios en los que la verdad es lo contrario son los llamados "completar los espacios'.