¿Importa cambiar el orden de la notación sigma?

Question

¿Puedes cambiar el orden de la suma así y jugar? Si no, ¿qué cambia?

$$ \displaystyle\sum\limits_{i=a}^{b} \sum\limits_{j=p}^{q} f(i) g(j) =\sum\limits_{j=p}^{q} \sum\limits_{i=a}^{b} f(i) g(j)=\sum\limits_{i=a}^{b} f(i) \sum\limits_{j=p}^{q} g(j)$$

Supongo que sí, pero para estar seguro, hago la pregunta.

Y puedo hacer lo mismo con,

$$ \displaystyle\sum\limits_{i=a}^{b} \sum\limits_{j=p}^{q} f(i,j)$$

Answer 1

En finito podemos cambiar libremente el orden de la suma. Tenemos \begin{align*} \color{blue}{\sum_{i=a}^{b}}&\color{blue}{ \sum_{j=p}^{q} f(i) g(j)}\\ &=f(a)g(p)+f(a)g(p+1)+\cdots f(a)g(q)\\ &\qquad+f(a+1)g(p)+f(a+1)g(p+1)+\cdots+f(a+1)g(q)\\ &\qquad\ \ \vdots\\ &\qquad+f(b)g(p)+f(b)g(p+1)+\cdots f(b)g(q)\tag{1}\\ &=\color{blue}{\sum_{j=p}^{q}\sum_{i=a}^{b} f(i) g(j)}\\ &=f(a)g(p)+f(a+1)g(p)+\cdots+f(b)g(p)\\ &\qquad+f(a)g(p+1)+f(a+1)g(p+1)+\cdots+f(b)g(p+1)\\ &\qquad\ \ \vdots\\ &\qquad+f(a)g(q)+f(a+1)g(q)+\cdots+f(b)g(q)\tag{2}\\ &\,\,\color{blue}{=\sum_{i=a}^{b}f(i) \sum_{j=p}^{q} g(j)}\\ &=f(a)\left(g(p)+g(p+1)+\cdots+g(q)\right)\\ &\qquad+f(a+1)\left(g(p)+g(p+1)+\cdots+g(q)\right)\\ &\qquad\ \ \vdots\\ &\qquad+f(b)\left(g(p)+g(p+1)+\cdots+g(q)\right)\tag{3}\\ \end{align*}

Obsérvese que (1), (2) y (3) son lo mismo ya que podemos pasar de una a otra aplicando un finito número de veces que las leyes de asociatividad , conmutatividad de la suma y la multiplicación, así como la ley de la distributividad.

Análogamente podemos aplicar estas leyes a la suma doble más general $\sum_{i=a}^{b} \sum_{j=p}^{q} f(i,j)$ .

Answer 2

Por supuesto, basta con escribir una matriz $A$ con entradas $a_{i,j} = f(i)g(j)$ . Entonces puedes ver que la suma de las entradas sobre todas las filas es la misma que la suma sobre todas las columnas.