Encontrar la suma de la siguiente serie infinita en la que el numerador y el denominador contiene plazo que son producto de números enteros en una progresión aritmética:
$$\frac15+ \frac{1\times4}{5\times10}+\frac{1\times4\times7}{5\times10\times15}+\dots$$
He encontrado este problema en un Indio de oposiciones. He probado algunos de los métodos convencionales, pero no pudo encontrar la suma. Por favor, ofrezca cualquier ayuda que usted piensa que es útil. Gracias!
Considere la posibilidad de la expansión de la serie de $f(x)=(1-x)^{-1/3}$:
$$\begin{align}f(x) &= 1+\frac13 x + \frac1{2!} \left ( -\frac13\right ) \left ( -\frac{4}{3}\right ) x^2 - \frac1{3!} \left ( -\frac13\right ) \left ( -\frac{4}{3}\right )\left ( -\frac{7}{3}\right ) x^3 +\cdots\\ &= 1+\frac13 x + \frac{1 \cdot 4}{2! 3^2} x^2 + \frac{1 \cdot 4 \cdot 7}{3! 3^3} x^2+\cdots\end{align}$$
Por lo tanto, la cantidad especificada es simplemente
$$f \left ( \frac{3}{5} \right ) - 1 = \left ( \frac{5}{2} \right )^{1/3}-1$$
Puede ser resuelto por mirar aquí: $\frac {1}{5}-\frac{1.4}{5.10}+\frac{1.4.7}{5.10.15}-\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot$
El cambio de signo en los términos está cubierto por mi respuesta.
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