$L$ modelos de la teoría de conjuntos y así no $V_\kappa$ $\kappa$ inaccesible

Question

Antecedentes: he estado leyendo la edición de 1980 de Kunen. Teorema VI.2.1 los estados es demostrable a partir de ZF que $\mathbf L$ (Kunen escribe clases en negrita) es un modelo de ZF. También, es un argumento bien conocido que desde $V_\kappa$ (Kunen iba a escribir esto como $R(\kappa)$) modelos de ZFC para $\kappa$ inaccesible, ZFC ¿ no prueban la existencia de fuertes inaccessibles, por Goedel del Segundo Teorema de la Incompletitud.

Pregunta 1: ¿Cuál es la diferencia entre estas dos situaciones? ¿Por qué es que en la primera la existencia de un modelo de ZF es supuestamente inofensivo mientras que en el segundo $R(\kappa)$ modelado de ZFC es problemático?

Intento de respuesta a la Pregunta 1: por supuesto que es debido a $\mathbf L$ es una clase adecuada mientras que $R(\kappa)$ es un conjunto si $\kappa$ existe. Así, en la última situación, uno puede formalizar la solidez teorema para obtener el formalizada coherencia de la frase Con(ZFC) comprobable de ZFC. En el primero, uno sólo obtiene la consistencia de ZF (que es modelada por $\mathbf L$) en el metatheory bajo la condición de ZF ser consistente en el metatheory (Teorema IV.8.2). Adecuada clases no existen realmente.

Pregunta 2: Pero la gente a menudo el tratamiento adecuado de las clases de la misma manera como conjuntos. Por qué no se puede hacer la misma cosa a $\mathbf L$ $R(\kappa)$ aquí? ¿Cuál es el principio general en cuanto a este tipo de problema?

Answer 1

Hay dos nociones de "modelo" aquí. Uno realmente es modelo-teórica, usando la relación de la satisfacción que tiene entre las estructuras y las fórmulas. El otro es sólo la prueba de la teoría, sólo el uso de la noción de provability de relativizations dentro de una teoría.

En el primer sentido de "modelo", es trivial que $ZF$ demuestra que una teoría tiene un modelo. Para que decir que $ZF$ demuestra una sola instrucción "hay un conjunto que satisface todos los axiomas de la $T$". Como nota, $ZF$ demuestra la solidez teorema, es decir, es prueba de que "si algún conjunto que satisface todos los axiomas de la $T$, $T$ es consistente". Así que si, en este primer sentido, $ZF$ demuestra que $T$ tiene un modelo, entonces $ZF$ demuestra "$T$ es consistente".

Por otro lado, de acuerdo a la mera prueba de la teoría de la noción de "interior" del modelo, la existencia de modelos de $ZF$ es trivial. Para, para decir que $\mathbf C$ es un interior modelo de $T$ (de acuerdo a $ZF$) es sólo para decir que $ZF$ demuestra la relativización a $\mathbf C$ de cada axioma de $T$. Así, por ejemplo, $ZF$ tiene una línea de prueba de la relativización a $\mathbf V$ de cada instancia de un axioma de la $ZF$. Lo que en este sentido se puede decir que a $\textbf V$ es un modelo de $ZF$ según $ZF$. Sin embargo, nada de lo siguiente acerca de la provability en $ZF$ $ZF$'s de coherencia, porque aún no hemos mencionado la provability en $ZF$ nada acerca de las fórmulas, ni hablar de la satisfacción.

La relación entre las dos nociones de modelo y el conjunto de la clase distinción es más o menos la siguiente. $ZF$ puede preguntar acerca del "verdadero" modelhood sólo con respecto a lo que se considera ser conjuntos. Para Tarski del teorema implica que un concepto de satisfacción no es, en general, definibles con respecto a las clases. Pero por el contrario, Kunen hace clara (por ejemplo, en la discusión en torno a la IV.8.2) que un interno modelo puede tener un tamaño de dominio: en comparación con algún parámetro $v$, la fórmula $x\in v$ puede definir un interior de modelo de esta o aquella teoría.

Answer 2

La cosa acerca de "es demostrable a partir de $\sf ZF$ que $L$ es un modelo de $\sf ZF$" es que esto es un poco engañoso.

Para cada axioma de $\sf ZF$, es comprobable de $\sf ZF$ que $L$ satisface que ese axioma. Por lo tanto, es un meta-teorema que $L$ satisface $\sf ZF$. Pero eso está bien para la consistencia relativa argumento, ya que esos son meta-teoría de argumentos de todas formas.

En el caso de $V_\kappa$, esto no es un meta-teorema, ya que $V_\kappa$ es un conjunto, y por lo tanto tenemos un predicado de verdad. En realidad significa mucho más. Considere el caso donde $V$ tiene un no-estándar de los números enteros. Esto significa que $\sf ZFC$ de la meta-teoría y $\tt ZFC$ interiorizado por $V$ son diferentes. Ahora podemos demostrar que $L\models\sf ZFC$, pero no hay manera de que podamos demostrar que $L\models\tt ZFC$. Dado que los axiomas no viven en la meta-teoría y en la satisfacción adecuada de las clases no está definido internamente en todos. Por otro lado, $V_\kappa\models\tt ZFC$ dado que se puede demostrar internamente que satisface todos los axiomas.

Y esto, en pocas palabras, es el corazón de la cuestión para su segunda pregunta. Ya que un correcto clases no son objetos, no tienen un predicado de verdad, y por lo tanto la declaración de $L\models\sf ZFC$ es una declaración de la meta-teoría, y la meta-teoría de la interpretación de la $\sf ZFC$ predicado. Mientras que $V_\kappa$ es un conjunto, por lo que tiene un predicado de verdad, y puede satisfacer la interpretación interna de $\sf ZFC$.

Permítanme terminar la presentación de un teorema que he aprendido de este maravilloso anwer por Joel Hamkins.

Si $M$ es un modelo de $\sf ZF$, entonces hay algunas $N\in M$ tal que $N$ es un modelo de $\sf ZF$.

Prueba. Si $M$ $\omega$- modelo, entonces él debe estar de acuerdo con $V$ sobre el valor de verdad de $\operatorname{Con}\sf (ZF)$. Por lo que la consecuencia es cierto. Si $M$ no es un $\omega$-modelo, luego en $M$ los axiomas de $\sf ZFC$ $V$ hacer una limitada parte de la versión interna de $\sf ZFC$ como se interpreta por $M$.

Desde delimitada parte significa "internamente" finita, por el teorema de reflexión hay algunos $M$-ordinal $\theta$ tal que $M_\theta\models\sf ZF$. $\square$

El punto aquí es que:

1. $M$ piensa que $\sf ZFC$ $V$ lo interpreta, es sólo una parte finita de $\sf ZFC$ como se interpreta. De hecho, no puede reconocer el "verdadero" de los axiomas, pero sabemos que podemos usar cualquier no-estándar entero como un límite superior.

2. Desde $M$ no está bien fundado, los miembros de $M$ no es la verdadera relación de pertenencia. Así que esto no contradice el axioma de regularidad.