La comprobación de un sistema ortogonal en $L^2$

Question

Considere la posibilidad de la colección $$\left\{e^{2\pi ikx/(b-a)}\,:\, k=0,\pm 1, \pm2,\ldots \right\}\,,$$ on $(a,b)$. Verify that this system is orthogonal in $L^2$.

He intentado las dos cosas más obvias: (1) la integración con exponenciales, (2) integración con funciones trigonométricas. Ambos son sucios, y ni se trabaja. No quiero escribir mucho trabajo, porque mis notas son un tedioso nightmarescape, pero yo, básicamente, mantener acabar con los siguientes:

Set $\theta=\frac{2\pi}{b-a}$. Tome $e^{2\pi ikx/(b-a)}$$e^{2\pi ikx/(b-a)}$. Tomando su producto interior, me sale algo como $$\frac{i}{\theta(k-n)}\left[e^{\theta(k-n)bi}-e^{\theta(k-n)ai}\right]\,.$$

Me siento como que me estoy volviendo loco, pero no es en absoluto evidente que esto va a terminar siendo cero....

Answer 1

Tenga en cuenta que $\displaystyle{\frac{b}{b-a} = \frac{a}{b-a} + 1}$, por lo que aquellos exponencial términos difieren por un factor de $e^{2\pi(k-n)i}$.

Answer 2

Usted debe considerar los casos de $n=k$ $n\not=k$ por separado (antes de integrar).