La convergencia de la Serie w/ factorial

Question

Estoy trabajando en una convergencia problema que me da problemas. Voy a enumerar los pasos que he hecho hasta ahora.

Dada la siguiente serie de determinar si es convergente o divergente: $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n!\cdot x^n}{n^n}, \text{where } x > 0.$$

Cuando vi por primera vez este problema yo pensaba que el uso de la raíz de la prueba así que he intentado para realizar el siguiente cálculo: $$\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{\left| \frac{n!\cdot x^n}{n^n} \right|}.$$

Pero aquí es donde no estoy seguro de cómo seguir adelante. Básicamente soy seguro si se puede distribuir el $\frac{1}{n}$ exponente de a $n!$ a generar algo como esto ${(n!)}^{1/n} \cdot x$ como el numerador (que podría ir a $x$$n \longrightarrow \infty$).

Answer 1

En la falta de Stirlings aproximación, se puede utilizar D'Alambert del criterio. Sabemos que una serie converge si la proporción de sus elementos consecutivos es, finalmente, $<1$ en valor absoluto.

Tenemos

$$ a_n=\frac{{n!}}{{{n^n}}}x^n$$

Entonces nos encontramos con la

$$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {\frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}}} \right| = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {x\frac{{{n^n}}}{{n!}}\frac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{{{\left( {n + 1} \right)}^{n + 1}}}}} \right|$$

$$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {\frac{{{n^n}}}{{{{\left( {n + 1} \right)}^n}}}x} \right| = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {{{\left( {\frac{n}{{n + 1}}} \right)}^n}x} \right|$$

$$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{\left| x \right|}}{{\left| {{{\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)}^n}} \right|}} = \frac{{\left| x \right|}}{e}$$

Ya que queremos que el límite sea inferior a la unidad, es evidente que necesitamos:

$$\frac{{\left| x \right|}}{e} < 1 \Rightarrow \left| x \right| < e$$

que es lo que Alex.

Answer 2

Aquí podemos hacer uso de la aproximación de Stirling, que nos da ese $n!=\frac{n^n}{e^n}O(n)$, que es que el $n!$ dividido por $\frac{n^n}{e^n}$ es en la mayoría de los lineales de las grandes $n$. Por lo tanto $$\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{n!\cdot x^n}{n^n}= \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{n^n\cdot x^n\cdot O(n)}{e^n\cdot n^n}= \sum\limits_{n=1}^\infty \left(\frac{x}{e}\right)^nO(n)$$ que converge al $|x|<e$ por la prueba de razón. El uso de una refinada versión de Stirling, conseguimos que los $n!>c\frac{n^n}{e^n}$ para algunas constantes $c>0$, por lo que $$\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{n!\cdot x^n}{n^n}> \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{n^n\cdot x^n\cdot c}{e^n\cdot n^n}= c\sum\limits_{n=1}^\infty \left(\frac{x}{e}\right)^n$$ que diverge al $|x|\geq e$. Por lo tanto la serie converge si y sólo si $|x|<e$, por lo que restringir nuestra atención a $x>0$ tenemos que la serie converge para $x<e$.