Dados cualesquiera dos vectores $a$$b$, el vector producto vectorial $a\times b$ será perpendicular a ambos, incluso si tenemos que considerar el caso de degeneración de $0$ (es decir, el cero es perpendicular a cualquier cosa).
Con tres puntos distintos $x_1,x_2,x_3$ tenemos un triángulo, y este triángulo determina un plano. Tenga en cuenta que el triángulo está determinado por cualquiera de dos de sus lados - y así es el avión entonces. Lados corresponden a los vectores de desplazamiento entre los tres puntos, es decir, podemos establecer $a=x_2-x_1$, $b=x_3-x_1$ sin pérdida de generalidad (que es, no importa en qué orden debemos entender los puntos a, el desplazamiento resultante de los vectores determinará exactamente el mismo plano). Finalmente, dado que los puntos son distintos, el desplazamiento son vectores distintos de cero, y si asumimos que son no colineales los desplazamientos son también no paralelos prueban, por lo que su cruz de producto será degenerada (distinto de cero). (No no no no...)
Ya estamos trabajando en tres dimensiones, cualquier vector perpendicular a estos dos vectores de desplazamiento será perpendicular al plano que determinan, y viceversa, por lo que podemos utilizar el producto cruzado de desplazamiento de estos vectores para determinar el vector normal, a diferentes escalas.
Con $i,j,k$ la base ortonormales, la cruz del producto se calcula a través de la "pseudo-determinante"
$$a\times b = \det \begin{bmatrix}i & j & k \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{bmatrix}=(a_2b_3-a_3b_2)i-(a_1b_3-a_3b_1)j+(a_1b_2-a_2b_1)k.$$
Donde$a=a_1i+a_2j+a_3k$$b=b_1i+b_2j+b_3k$.
