Le preguntó:
- Podemos omitir "la Trinidad" y aprender algo más directamente? ("la Trinidad" se refiere a análisis, topología y álgebra)
- ¿Por qué son estas cosas tan importantes y por qué son enseñados por 3 años?
- Hay libros que dan un integrado de introducción acerca de este tema y nos llevará hasta el nivel avanzado?
- ¿Cuáles son los conceptos más importantes que uno debe dominar en ellos? Yo vi a muchos de los problemas matemáticos que se aplican, como la búsqueda de las integrales etc. Pueden ser omitidos?
Casi todo esto depende de lo que quieras hacer. ¿Quieres seguir Conway y de Berlekamp en el mundo de la combinatoria, la teoría de juegos? ¿Quieres lanzarte contra los problemas del milenio? Estos son muy diferentes preguntas. Uno no puede comprender los enunciados de los problemas del milenio sin una buena experiencia en las matemáticas, y que se necesita mucho más para apreciar (salvo, quizás, PvNP, que de alguna manera me parece ser la forma más sencilla para 'comprender' a pesar de que yo no tengo ni idea de cómo uno podría ir sobre acercándose a ella). Porque es más fácil hablar de las cosas en contexto, me voy a contextualizar esta pregunta a la teoría algebraica de números.
[1] Es posible "pasar" de aprendizaje análisis, topología, álgebra e independientemente de temas más avanzados? Sospecho que sería posible si los recursos que estaban allí. Si alguien se ha escrito libros/apuntes de clase que explicar la teoría algebraica de números, digamos, al tiempo que explica la necesaria álgebra cuando es necesario, entonces sería posible. Pero dudo que alguien tenga por tres razones principales:
- En primer lugar, hay poco sentido en la duplicación de otro material, y es tan fácil decir "leer Dummit y Foote" al principio de un texto.
- En segundo lugar, si el objetivo es aprender la teoría algebraica de números, de modo que uno podría ser capaz de llevar a cabo la investigación, entonces no es el problema de no saber que será necesario para continuar, o para hacer el siguiente 'avance' en un sentido. El material de introducción, análisis del complejo de variables/álgebra/topología de clases es relativamente básico y ampliamente aplicable (en matemáticas), y así, con toda probabilidad, uno tendrá que aprender con el tiempo. Y el aprendizaje temprano facilita todas las clases futuras.
- En tercer lugar, en consonancia con la teoría algebraica de números ejemplo, ¿cuáles podrían ser algunas de las primeras cosas que ha aprendido? Abrí mi copia de Irlanda y Rosen, Introducción a la Teoría de números y la desnatada en las primeras 20 páginas más o menos. Se trata de la única factorización de dominios, director de ideal, dominios, unidades en grupos, el polinomio de anillos, y montones y montones de ideales. Y esto es en la revisión-ish parte - 200 páginas más adelante, en la actual "Teoría Algebraica de números" de la sección, es todo sobre el campo de extensiones, isomorphisms, divisibilidad grado, etc. Estos son todos los supone conocidos, por lo que no es como si esos 200 páginas fueron re enseñar al lector acerca de los conceptos básicos a partir del primer año de álgebra. Así que para obtener el material de este (muy bueno, muy recomendable, sin embargo, todavía introductorio) libro, se necesita mucho del material de un curso de álgebra. Uno tiene que describir grupos, anillos, ideales, y los campos para obtener a través de las 10 primeras páginas. Así que para 'saltar álgebra' antes de aprender la teoría de números es un nombre inapropiado, ya que uno tiene que aprender de todas formas, para empezar. Simplemente tome un autor mucho más para llegar a nada, forzando mucho más tiempo y belaboured libros.
Ahora un poco más difícil - se podría aprender los conceptos básicos de la teoría algebraica de números sin análisis o la topología? Tal vez un poco. Pero uno es probable que desee topologize cosas, el uso de algunos topológicos, grupos y anillos, hablar de la convergencia/divergencia de las funciones más número de campos, etc. Tal vez usted quiere integrar algo más de adelics el uso de una medida de Haar, tal vez asociado con el Programa de Langlands o algo. Esto requiere de una intensa cantidades de álgebra, el análisis, y la topología de entender. Lo suficientemente intensa como la que creo que de los creacionistas' de la complejidad irreductible " cuando pienso en ella, aunque esto es una hipérbole.
[2] ¿por Qué son estas cosas tan importantes y por qué son enseñados por 3 años? Yo no sé acerca de cuánto tiempo se les enseña - en mi carrera, uno más o menos se tarda de 3 semestres de cálculo, de 2 semestres o análisis real, 1 semestre de análisis complejo, 2 semestres de álgebra, 1 semestre de topología, entre otras cosas (también se requería la combinatoria, álgebra lineal y ecuaciones diferenciales, que yo diría que son también ampliamente aplicable). Uno podría encajar el álgebra, la topología y el análisis dentro de 1 año si uno realmente, realmente quería hacerlo.
Pero en cuanto a por qué son importantes? Simplemente resulta de esa manera, supongo. Pero estoy rodeado por los matemáticos (actual y floración), y todo el uso de la topología, análisis y álgebra lineal con una gran regularidad. Siempre he especie de se preguntó cuánto (abstracto-ish) álgebra un analista podría usar - no sé mucho acerca de esto. Pero conociendo un poco (como un semestre o dos de cada uno) podría ser suficiente para dar la suficiente experiencia para reconocer cuando algo de material desconocido está en marcha, encontrar una fuente para aprender más acerca de él y, si usted tiene una buena comprensión de los conceptos básicos, tal vez incluso la capacidad para comprender el origen más fácilmente. Puede ser un dolor para ver algo (digamos, una integral sobre un colector o algo) solo para ir a la fuente equivocada (en este ejemplo, un cálculo de libros de texto porque vio una integral), igual es un dolor para ir a la derecha libro (uno de Lee Colectores de libros o algo) sólo para ser capaz de entender que, forzado a dar marcha atrás.
[3] no sé de cualquiera de los libros de la integración de temas avanzados y materiales básicos. Yo especie de curiosidad acerca de ellos - conocer los elementos básicos de álgebra,el análisis, y la topología de antemano decir que cuando un nuevo teorema/lema/corolario/ejercicio se acercó, tenía que buscar una respuesta de un amplio dominio. Me pregunto si un libro se lee como un libro de cálculo, en el sentido de que el material se presenta de 1 idea en un tiempo, las cosas se demuestran usando 1 idea en un momento, y los ejercicios al final sería basados en esta idea ("ahora, chicos y chicas, vamos a resolver el 20 de integrales utilizando fracciones parciales"). Pero estoy divagando.
[4] es difícil y misterioso para decir lo que es o no es importante. Las clases básicas de topología, análisis y álgebra son bastante limitado ya. Si uno sabía, dicen, Munkres Topología, Herstein o Dummit&Foote Álgebra, Rudin y/o Folland Análisis Real, y los Conway o Ahlfors Análisis Complejo, entonces probablemente tenga un buen comienzo.
Y hay algo que decir para ser capaz de hacer algo. El cálculo puede facilitar el aprendizaje. Se puede aclarar y hacer algo concreto. Podría proporcionar la heurística, etc. Yo no siempre aconsejo a nadie a omitir todo tipo de 'aplicado bits o de cálculo, al igual que yo no le diría a alguien a hacer sólo cálculo.
