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Cómo probar estos dos grupos son isomorfos?

Deje Up ser el subgrupo de C satisfactorio que: para cualquier xUp, existe un entero n tal que xpn=1.

Deje K ser un algebraicas campo cerrado, con características de 0. Denotar μp ser el subconjunto de K satisfacer: para cualquier xμp, existe un entero n tal que xpn=1.

Intuitivamente, μp Up son isomorfos. Puede que alguien me muestre una clara y rigurosa prueba?

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Bryan Roth Puntos 3592

Para cualquier algebraicamente cerrado campo de K de los característicos 0, le propone considerar el subgrupo μp p- potencia raíces de la unidad, de manera equivalente, el p-primaria torsión subgrupo de K×. Este grupo es la unión de sus subgrupos finitos μpn pnth raíces de la unidad, cada uno de los cuales es un cylic grupo de orden pn, ya que por el criterio de la derivada del polinomio tpn1 tiene claras raíces en cualquier algebraicamente cerrado de campo de carácter diferente de p.

Es fácil ver que hay isomorfismo exactamente un grupo abelian todos cuyos elementos son de p-potencia de torsión y tal que para cada una de las nZ+, pn- torsión subgrupo es cíclico de orden pn. De hecho, podemos elegir un generador de σn de cada pedido pn-subgrupo cíclico de tal manera que σpn+1=σn. La elección de los generadores induce un isomorfismo de nuestro grupo μplimZ/pnZ, donde el mapa de Z/pnZZ/pn+1Z envía 1p.

Si usted no sabe lo que es un directo de límite, esta es una buena oportunidad para aprender, pero por otro lado no es necesario aquí. La asignación de un "compatible con la secuencia de los generadores" σn en un grupo de un archivo de secuencia de los generadores en otro grupo induce un isomorfismo entre ellos.

Por el camino, el único abelian grupo en cuestión es bastante famoso: se llama la Prufer p-grupo.

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GmonC Puntos 114

No es necesario asumir que la característica es 0, sólo que es diferente de p. Entonces los polinomios Xpn1 son squarefree, de modo que todos los su pn raíces en la clausura algebraica son distintos. Es bien sabido que cualquier finito subgrupo del grupo multiplicativo de un campo es cíclica, por lo que para cada n tenemos un subgrupo cíclico de orden pn, y estamos buscando la unión de todos estos subgrupos. Por otra parte cíclica grupo tiene exactamente una (cíclica) de los subgrupos de cada orden, dividiendo su propio orden, por lo que no hay dificultad en encontrar qué subconjunto de la pn+1-st raíces de la unidad debe ser el conjunto de pn-th raíces de la unidad.

Con el fin de establecer un isomorfismo entre los grupos Up para los dos campos diferentes, basta con elegir para cada n un isomorfismo entre sus subgrupos cíclicos de orden pn en una manera que es compatible (desplazamientos) con la incorporación de estos subgrupos en cada una de las otras. Esto se puede hacer por la elección de un determinado generador para cada subgrupo cíclico para ambos campos (el isomorfismo asignará el elegido generador a la elegida para el correspondiente subgrupo), de tal manera que si gn,gn+1 son los generadores de los subgrupos de las respectivas órdenes de pn,pn+1 en el mismo campo, a continuación,gpn+1=gn. Esto es claramente posible, sucesivamente, mientras que el avance de la nN.

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