Cómo probar estos dos grupos son isomorfos?

Question

Deje $U_p$ ser el subgrupo de $\mathbb{C}^*$ satisfactorio que: para cualquier $x\in U_p$, existe un entero $n$ tal que $x^{p^n}=1$.

Deje $K$ ser un algebraicas campo cerrado, con características de $0$. Denotar $\mu_{p}$ ser el subconjunto de $K$ satisfacer: para cualquier $x\in\mu_p$, existe un entero $n$ tal que $x^{p^n}=1$.

Intuitivamente, $\mu_p$ $U_p$ son isomorfos. Puede que alguien me muestre una clara y rigurosa prueba?

Answer 1

Para cualquier algebraicamente cerrado campo de $K$ de los característicos $0$, le propone considerar el subgrupo $\mu_{p^{\infty}}$ $p$- potencia raíces de la unidad, de manera equivalente, el $p$-primaria torsión subgrupo de $K^{\times}$. Este grupo es la unión de sus subgrupos finitos $\mu_{p^n}$ $p^n$th raíces de la unidad, cada uno de los cuales es un cylic grupo de orden $p^n$, ya que por el criterio de la derivada del polinomio $t^{p^n} -1$ tiene claras raíces en cualquier algebraicamente cerrado de campo de carácter diferente de $p$.

Es fácil ver que hay isomorfismo exactamente un grupo abelian todos cuyos elementos son de $p$-potencia de torsión y tal que para cada una de las $n \in \mathbb{Z}^+$, $p^n$- torsión subgrupo es cíclico de orden $p^n$. De hecho, podemos elegir un generador de $\sigma_n$ de cada pedido $p^n$-subgrupo cíclico de tal manera que $\sigma_{n+1}^p = \sigma_n$. La elección de los generadores induce un isomorfismo de nuestro grupo $\mu_{p^{\infty}}$$\varinjlim \mathbb{Z}/p^n \mathbb{Z}$, donde el mapa de $\mathbb{Z}/p^n \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}/p^{n+1} \mathbb{Z}$ envía $1$$p$.

Si usted no sabe lo que es un directo de límite, esta es una buena oportunidad para aprender, pero por otro lado no es necesario aquí. La asignación de un "compatible con la secuencia de los generadores" $\sigma_n$ en un grupo de un archivo de secuencia de los generadores en otro grupo induce un isomorfismo entre ellos.

Por el camino, el único abelian grupo en cuestión es bastante famoso: se llama la Prufer p-grupo.

Answer 2

No es necesario asumir que la característica es$~0$, sólo que es diferente de $p$. Entonces los polinomios$~X^{p^n}-1$ son squarefree, de modo que todos los su $p^n$ raíces en la clausura algebraica son distintos. Es bien sabido que cualquier finito subgrupo del grupo multiplicativo de un campo es cíclica, por lo que para cada $n$ tenemos un subgrupo cíclico de orden$~p^n$, y estamos buscando la unión de todos estos subgrupos. Por otra parte cíclica grupo tiene exactamente una (cíclica) de los subgrupos de cada orden, dividiendo su propio orden, por lo que no hay dificultad en encontrar qué subconjunto de la $p^{n+1}$-st raíces de la unidad debe ser el conjunto de $p^n$-th raíces de la unidad.

Con el fin de establecer un isomorfismo entre los grupos $U_p$ para los dos campos diferentes, basta con elegir para cada $n$ un isomorfismo entre sus subgrupos cíclicos de orden $p^n$ en una manera que es compatible (desplazamientos) con la incorporación de estos subgrupos en cada una de las otras. Esto se puede hacer por la elección de un determinado generador para cada subgrupo cíclico para ambos campos (el isomorfismo asignará el elegido generador a la elegida para el correspondiente subgrupo), de tal manera que si $g_n,g_{n+1}$ son los generadores de los subgrupos de las respectivas órdenes de $p^n,p^{n+1}$ en el mismo campo, a continuación,$g_{n+1}^p=g_n$. Esto es claramente posible, sucesivamente, mientras que el avance de la $n\in\mathbf N$.