La dependencia y el segundo Borel-Cantelli lema.

Question

Voy a poner el problema y, a continuación, voy a explicar mi problema.

Problema: Vamos a ${A_n}$ eventos tales como

$\operatorname{Cov}(I_{A_i},I_{A_j})=E[I_{A_i}I_{A_j}]-E[I_{A_i}]E[I_{A_j}]\leq 0,\ \forall i\neq j\tag{1}$

Si $\sum P(A_i)=\infty$$P[\lim \sup A_n]=1$.

Respuesta: Por (1) tenemos que $\operatorname{Cov}(I_{A^c_i},I_{A^c_j})\leq 0$. Por lo $P(\lim \inf A_n^c)=P(\lim \bigcap A_n^c)=\lim P(\bigcap A_n^c)\overset{Q!} {\leq} \lim \prod P(A_n^c)= \lim \prod (1-P(A_n))\leq \lim e^{-\sum P(A_n)}=0$

El detalle es que en la desigualdad marcada con una "Q!" He utilizado ese $P(\bigcap A_n)\leq \prod P(A_n)$. Es intuitivo, pero no podía demostrar a través de la declaración del problema. Pero es interesante resultado. Podríamos utilizar B-C lema incluso para los eventos correlacionados, ya que están correlacionadas negativamente. ¿Ustedes qué piensan al respecto?

Answer 1

Creo que Fristedt & Gray, el libro de probabilidad resulta una versión de Borel--Cantelli que supone sólo el valor no positivo de correlación en lugar de la independencia. En particular, eso significa que los pares de la independencia es suficiente.

Más tarde edit: he Aquí lo que encontré en Un Enfoque Moderno de la Teoría de la Probabilidad por Bert Fristedt y Lawrence Gris, página 79:

Lema 5. [Borel-Cantelli] Deje $(A_1,A_2,\ldots)$ ser una secuencia de eventos en un espacio de probabilidad $(\Omega,\mathcal{F},P)$. Supongamos que para cada una de las $i\ne j$, los eventos $A_i$ $A_j$ son correlacionó negativamente o no correlacionados. Deje $A=\lim\sup_{n\to\infty} A_n$. Si $\sum_{n=1}^\infty P(A_n)=\infty,$$P(A)=1$.

Answer 2

El resultado que usted menciona como intuitiva no se sostiene. Para ver esto, uno puede recordar el ejemplo clásico de tres correlacionadas eventos dependientes, que es $A_1=[U=1]$, $A_2=[V=1]$ y $A_3=[UV=1]$ donde $U$ $V$ son yo.yo.d. $\pm1$ simétrica variables aleatorias de Bernoulli.

A continuación, los eventos $A_i$ son pares independientes, cada una de las $A_i$ probabilidad de $\frac12$, e $A_1\cap A_2\cap A_3=[U=V=1]$ por lo tanto $\mathrm P(A_1\cap A_2\cap A_3)=\frac14\gt\frac18=\mathrm P(A_1)\mathrm P(A_2)\mathrm P(A_3)$.