Si $\mu(|f_n|^p)$ está acotado y $f_n\to f$ en medida entonces $f_n\to f$ en $L^1$

Question

Dejemos que $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ sea una secuencia de funciones reales medibles s.t,

(a) La secuencia $\displaystyle(\int |f_n|^p\ \mathsf d\mu)_{n\in\Bbb{N}}$ está acotado.

(b) La secuencia $(f_n)_{n\in\Bbb{N}}$ converge en medida a una función medible $f$ .

Utilice la desigualdad de Hölder para demostrar que $$\displaystyle\lim\limits_{n\to\infty}\int|f_n-f|\ \mathsf d\mu=0.$$

Hasta ahora he demostrado que $f$ es $p$ -integrable y que, para todo $n\in\Bbb{N}$ y para todo número real $\alpha>0$

$$\displaystyle \int |f_n-f|\ \mathsf d\mu\leq \alpha\mu(\Omega)+\int_{ \{|f_n-f|>\alpha\}}|f_n-f|\ \mathsf d\mu$$

Estoy tratando de usar Hölder en el último término de la desigualdad anterior para mostrar que esta parte va a $0$ . Pero no sé cómo hacerlo.

Una pista sería más apreciada que la respuesta completa.

Answer 1

Por la desigualdad de Holder, $$\int_{|f_n-f|>\alpha} |f_n - f| d\mu \leq \int_{|f_n-f|>\alpha} |f_n| d\mu + \int_{|f_n-f|>\alpha} |f| d \mu \leq$$ $$ \mu(\{\omega\in\Omega:|f_n(\omega)-f(\omega)|>\alpha\})^{1/q} \left(||f_n||_p+||f||_p\right)$$

Como $n\to\infty$ , $\mu(\{\omega\in\Omega:|f_n(\omega)-f(\omega)|>\alpha\})\to 0$ y $\left(||f_n||_p+||f||_p\right)<\infty$ .

Entonces $$\mu(\{\omega\in\Omega:|f_n(\omega)-f(\omega)|>\alpha\})^{1/q} \left(||f_n||_p+||f||_p\right)\xrightarrow{n\to\infty}0$$

Answer 2

Demostramos $\int |f|^p\,d\mu$ está acotado primero.

Desde $f_n \to f$ en medida, entonces hay una subsecuencia $f_{n_k}$ convergen a.e. a $f$ . Por el lema de Fatou $$ \int_{\Omega} |f|^p\,d\mu = \int_{\Omega} \lim\limits_{k \to \infty} |f_{n_k}|^p\,d\mu \leq \liminf\limits_{k \to \infty} \int_{\Omega} |f_{n_k}|^p \,d\mu\leqslant\left(\int_{\Omega} |f_n|^p\,d\mu\right)_{n\in\Bbb{N}}< \infty $$