Evaluar$\int_{-\infty}^\infty e^{x/2}\operatorname{sech}(x)\,dx$ sin cálculo de residuos

Question

Quiero integrar: $$\int_{-\infty}^\infty e^{x/2}\operatorname{sech}(x)\,dx.$$

He tratado de probar algunos de mis integración de habilidades por intentar algunas integrales que son estándar con los residuos, pero para esto, debo estar haciendo algo muy tonto error, porque después de comprobar las cosas con una calculadora no se alinea con lo que debería estar bien.

Empecé con la integración por partes deja: $u=e^{x/2} => du=\frac{1}{2}e^{x/2}\,dx$ $dv=\operatorname{sech}(x)\,dx => v=2\arctan(e^x)$ o $-2\arctan(e^{-x})$

Me separé de la integral de $\operatorname{sech}(x)$ en las dos integrales para que convergen los límites en el infinito (esto parecía funcionar para otras integrales que yo hice). Después de conectar todo:$$-2e^{x/2}\arctan(e^{-x})|_{-\infty}^{\infty}-\int_0^\infty e^{x/2}v\,dx =$$ $$-\int_{-\infty}^0 e^{x/2}\arctan(e^x)\,dx+\int_0^{\infty}e^{x/2}\arctan(e^{-x})\,dx. $$

Esto, sin embargo, no es correcto, y he estado mirando demasiado tiempo. Es mucho agradecería un poco de ayuda podría ser dado!

Answer 1

METODOLOGÍA de $1$:

Se puede proceder por el plegamiento de la integral, que expresan el denominador del integrando como una serie geométrica, intercambiando el orden de integración y totalización, y la conversión de la resultante de la serie en un simple integral.

Así que, aquí vamos ...

$$\begin{align} \int_{-\infty}^\infty e^{x/2}\text{sech}(x)\,dx&=2\int_0^\infty \frac{e^{x/2}+e^{-x/2}}{e^x+e^{-x}}\,dx\\\\ &=2\int_0^\infty \frac{e^{-x/2}+e^{-3x/2}}{1+e^{-2x}}\,dx\\\\ &=2\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\int_0^\infty \left (e^{-(2n+1/2)x}+e^{-(2n+3/2)x}\right)\,dx\\\\ &=2\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\left(\frac{1}{2n+1/2}+\frac{1}{2n+3/2}\right)\\\\ &=4\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\left(\frac{1}{4n+1}+\frac{1}{4n+3}\right)\\\\ &=4\sum_{n=0}^\infty (-1)^n \left(\int_0^1 x^{4n}\,dx+\int_0^1 x^{4n+2}\,dx\right)\\\\ &=4\int_0^1 \left(\frac{1+x^2}{1+x^4}\right)\,dx\\\\ &=\sqrt2 \pi \end{align}$$

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METODOLOGÍA de $2$:

Un enfoque alternativo es comenzar con la sustitución de $x\mapsto\log(x^2)$. Entonces, tenemos

$$\begin{align} \int_{-\infty}^\infty e^{x/2}\text{sech}(x)\,dx&=2\int_0^\infty \frac{e^{x/2}+e^{-x/2}}{e^x+e^{-x}}\,dx\\\\ &=4\int_1^\infty \frac{x^2+1}{x^4+1}\,dx\\\\ &\overbrace{=}^{x\mapsto 1/x}4\int_0^1 \left(\frac{1+x^2}{1+x^4}\right)\,dx\\\\ &=\sqrt2 \pi \end{align}$$