Propiedad de Lindelöf y$\omega$ - cubiertas

Question

Deje $X$ ser un Lindelöf espacio topológico. ¿Esto implica que todos los $\omega$-cubierta tiene una contables subcover que también es una $\omega$-cubierta? si no, hay un ejemplo de un topológico Lindelöf espacio con un $\omega$-cubierta para el que no hay una contables sub $\omega$-cubierta?

Decimos que una apertura de la tapa $\mathcal{U}$ $X$ $\omega$- cubierta, si $X \notin \mathcal{U}$ y para cualquier conjunto finito $A \subset X$ no es un porcentaje ($U \in \mathcal{U}$tal que $A \subseteq U$.

Gracias!

Answer 1

En general, la respuesta es negativa. He encontrado un resumen de un artículo "Una nueva clase de espacios con todo finito poderes Lindelöf" por Natasha Mayo, Santi Spadaro, y Pablo Szeptycki. (Topología Appl. 170, 104-118 (2014)):

Una $\omega$-portada de un conjunto $X$ es una portada con la siguiente propiedad: cada subconjunto finito de $X$ está contenido en un elemento de la cubierta. Una $\iota$-portada es un $\omega$-cubrir con la propiedad adicional de que la desunión finito de conjuntos están separados por miembros de la portada (lo que significa que si $F, G \in [X]^{<\omega}$ son disjuntas y $\mathcal{U}$ $\iota$- cubierta, a continuación, no es $U \in \mathcal{U}$ tal que $F \subseteq U$$G \cap U = \emptyset$).

Un espacio topológico $X$ es llamado un $\epsilon$-espacio si cada poder finito de $X$ es Lindelöf; equivalentemente, $X$ $\epsilon$- espacio si cada abrir $\omega$-cubierta tiene una contables $\omega$-subcover. Los autores destacan que cada espacio con una contables de la red es una $\epsilon$-espacio, y son una muestra de que todo espacio de Hausdorff con una contables de la red tiene la propiedad de que cada abrir $\iota$-cubierta tiene una contables de refinamiento que es también una $\iota$a cubrir. Motivados por esto, que ellos llaman un espacio con la última propiedad de un $\iota$-espacio.

En el documento de revisión, los autores investigar una serie de cuestiones relacionadas con la $\epsilon$-espacios y $\iota$-espacios. Un ZFC ejemplo de un regular $\iota$-espacio sin contable red. Los autores muestran que la propiedad de ser un $\epsilon$-espacio y la propiedad de ser un $\iota$-espacio son equivalentes para regular los espacios con un $G_\delta$ diagonal. Un constante ejemplo de un hereditariamente $\epsilon$-espacio en el que la plaza no es hereditariamente Lindelöf se construye, así como un absoluto (en el sentido de ZFC) ejemplo de un no $D$-espacio que tiene una contables abrir $\iota$a cubrir. El trabajo termina con las siguientes preguntas: ¿son todas las $\iota$espacio $D$-espacio? Es cada hereditariamente $\iota$espacio $D$-espacio?

Así que la respuesta es positiva iff cada poder finito del espacio $X$ es Lindelöf. En particlular, la respuesta es positiva cuando $X$ tiene una contables de la red o es $\sigma$-compacto. Pero hay un ejemplo clásico de un Lindelöf espacio que la plaza no es Lindelöf. Es así llamado Sorgenfrey flecha $\Bbb L$, que es la línea real dotado de la topología de Sorgenfrey generado por la base que consta de la mitad de los intervalos $[a,b)$, $a<b$. Es bien sabido que el espacio de $\Bbb L$ es Lindelöf, pero su cuadrado contiene un cerrado de un espacio diferenciado de $\{(x,-x):x\in\Bbb R\}$ de cardinalidad $\frak c$.