Sobre el uso de extensiones de campo para demostrar la imposibilidad de una construcción de compás y regla.

Question

Deje $z \in \mathbb{C}$. Considere las siguientes declaraciones:

1. El punto de $z$ puede construirse con regla y compás a partir de los puntos de $\{ 0,1\}$.
2. Hay un campo de extensión de la $K / \mathbb{Q}$ que tiene una torre de subextensions, cada uno de grado 2 en el siguiente, y tal que $z \in K$
3. La extensión de campo $\mathbb{Q}(z) / \mathbb{Q}$ tiene una torre de subextensions, cada uno de grado 2 en el siguiente.

La forma habitual para demostrar que una construcción geométrica es imposible es el uso que 1 y 2 son equivalentes. Mi pregunta es: son 2 y 3 equivalente? A primera vista, esto parecía que iba a ser verdad y elemental, pero yo no podía probar o encontrar un contraejemplo.

Answer 1

Creo que son equivalentes. Claramente 3 ==> 2. Para ver 2 ==> 3, es decir, una extensión de E/L de campos es de 2-filtrado si tiene una torre de subextensions cada uno de grado 2 en el siguiente. A continuación, resaltar, en primer lugar que si E/L y E'/L de 2-filtrado, también lo es el compositum de E y E' en cualquier extensión de L que contiene a ambos (inducción sobre la longitud de la torre de, digamos, E); y en segundo lugar para cualquier mapa f:E - >E' de extensiones de L, si E es 2-filtrada, a continuación, también lo es f(E). Juntos, estos dos hechos implican que en 2 podemos suponer que K es de Galois sobre Q, por ejemplo, con el grupo de G. Entonces Q(z)/Q corresponde a un subgrupo de H, y por la teoría de Galois necesitamos comprobar que el siguiente grupo de teoría lema:

Lema: sea G ser un 2-grupo y H un subgrupo. A continuación, hay una cadena de subgrupos de la conexión de H en G, donde cada uno es el índice 2 en la siguiente.

Prueba: Recordar que podemos encontrar un central de orden dos de los subgrupos de Z de G. Si H\cap Z=1, entonces HZ que nos pone en la filtración. De lo contrario, H\cap Z=Z, es decir, Z está en H, y podemos utilizar la inducción de |G|, en sustitución de G por G/Z.