Secuencias para ese $\sum_{n} \frac{1}{x_n}$ es divergente y $\sum_{n} \frac{1}{x_n \ln x_n}$ es convergente

Question

Vamos a denotar con $(x_n)$ una secuencia dada y los presentamos las siguientes dos series.

$$S^* = \sum_{n} \frac{1}{x_n} \quad \text{and} \quad S_* = \sum_{n} \frac{1}{x_n \ln x_n}.$$

Sabemos que si $(x_n)$ son por ejemplo los números de Fibonacci mayor, a continuación,$1$, $S^*$ $S_*$ son convergentes. Si $(x_n)$ son los números primos, a continuación, $S^*$ es divergente y $S_*$ es convergente. Si $(x_n)$ son los números naturales mayores, a continuación,$2$, ambas series son divergentes.

Pregunta. ¿Cómo podríamos caracterizar la $(x_n)$ secuencias, para que $S^*$ es divergente y $S_*$ es convergente. Yo estaría contento de ver alguna referencia en este tema. Si no podemos caracterizar $(x_n)$, entonces hay ninguna propiedad especial de estas secuencias?

Answer 1

Creo que no vas a encontrar ninguna caracterización, que es más fácil de su propia definición. El límite entre la convergencia y la divergencia es muy delicada. Por ejemplo, si $x_n = n( \log n )(\log\log n) (\log\log\log n)^\alpha$, $S_*$ converge independientemente del valor de $\alpha$, pero $S^*$ converge al $\alpha>1$ y diverge cuando $\alpha\le1$.