Convergencia de $\sum\limits_{n=0}^{\infty} (1-|a_n|)$

Question

Así que debo demostrar que si $(a_n)$ es una secuencia de puntos en $\mathbb{C}$ con $0< |a_n| < 1 \; \forall n \in \mathbb{N}$ y verificar que $|b| \leq \prod\limits_{n=1}^{\infty} |a_n|$ con $0<|b| < 1$ , entonces la serie

$$\sum\limits_{n=0}^{\infty} \left(1-|a_n|\right)$$ converge.

Mi intento más cercano:

Nombrando las sumas parciales como $S_n = \sum\limits_{k=1}^n \left(1-|a_n|\right)$ utilizando la desigualdad general de Bernouilli para $-\frac{|a_k|}{n}$ Lo entiendo.

$$\prod\limits_{k=1}^n \left(1-\frac{|a_n|}{n}\right) \geq 1 - \sum\limits_{k=1}^n \frac{|a_n|}{n}$$

Multiplicando por $n$ en cada lado nos dan $$n \prod\limits_{k=1}^n \left(1-\frac{|a_n|}{n}\right) \geq n - \sum\limits_{k=1}^n |a_n| = \sum\limits_{k=1}^n (1-|a_n|)=S_n$$

Por lo tanto, obtenemos que $S_n \leq n \prod\limits_{k=1}^n \left(1-\frac{|a_n|}{n}\right)$

Tomando $\log$ ambos lados nos dan $$\log{S_n} \leq \log{(n)} + \sum\limits_{k=1}^n \log{\left(1-\frac{|a_n|}{n}\right)}$$

Ahora usando eso $\log{(1-x)} \leq -x$ obtenemos $$\log{S_n} \leq \log(n) - \sum\limits_{k=1}^n \frac{|a_n|}{n}$$

Y ahora no puedo continuar, el problema es que necesito usar $|b| \leq \prod\limits_{n=1}^{\infty} |a_n|$ en algún lugar, pero no pude manipular la serie para usarla. ¿Alguna pista sobre cómo puedo mostrar la convergencia?

Answer 1

Utilizando la estimación "conocida" $\log x \le x -1$ para $x > 0$ : $$S_n = \sum_{k=1}^n (1-|a_n|) \le - \sum_{k=1}^n \log |a_k| = - \log \prod_{k=1}^n |a_k| \le -\log b$$ por lo que las sumas parciales están acotadas, lo que implica que $\sum_{n=0}^{\infty} (1-|a_n|)$ es convergente.