Determine una sustitución válida para una ecuación diferencial

Question

Estoy tratando de determinar si alguna de las $v(x)$ sustituciones que me dan son posibles para hacer que la ecuación de primer orden lineal en términos de $v$.

$$y' = \frac{y}{x^2} + x^3y^3$$

El dado sustituciones posibles son

$$v(x)=x^3y^3 \\v(x)=y^2 \\v(x)=y^{-2} \\v(x)=y/x$$

No sé cómo deducir la respuesta al mirarlo. Así que me fui con una aproximación de fuerza bruta.

Resolver para y en los tres primeros rendimientos $y = \frac{v^{1/3}}{x}$, $y=\sqrt{v}$, e $y=v^{-1/2}$ respectivamente. Me fui con la lógica de que este no cumpla con la linealidad del problema desde $v$ , en cada caso, es no lineal.

Es el último de una falsa también porque podría hacer que la ecuación

$$vx = y \\v x + v = y' \\v x + v = \frac{v}{x} + x^7v^3$$

Por lo que la ecuación en una forma no lineal.

Esto es sólo mi forma de pensar sobre el asunto. Quiero para asegurarse de que es correcta.

Answer 1

El problema con $x^3 y^3$ es que su derivada es bastante complicado y antinatural para encontrar en el problema dado. El uso de $y/x$ también no funciona por la misma razón.

Pero si tomamos $v = y^{-2}$, su derivada es $-2y^{-3} y'$, que no aparecen en la naturaleza: la declaró la educación a distancia puede ser escrito como

$$y' y^{-3} = y^{-2} x^{-2} + x^3$$

en que punto de la sustitución es bastante rápido.

Asimismo, $v = y^2$ conduce a un simple (pero todavía no lineal) de la ecuación. Es menos natural, porque de $2y y'$ no aparece obviamente... pero podríamos escribir

$$yy' = \frac{y^2}{x^2} + x^3 y^4 \implies \frac 1 2 v' = \frac 1 {x^2} v + x^3 v^2$$ y el trato con $v^2$ bien podría ser más sencillo que tratar con $x^3$.

Independientemente, $v = y^{1 - 3}$ es el estándar para la sustitución de una ecuación de Bernoulli como este.

Answer 2

Sugerencia: escriba su ecuación en la forma $$-\frac{2y'(x)}{y(x)^3}+\frac{2}{x^2y(x)^2}=-2x^3$$ and Substitute $$v(x)=\frac{1}{y(x)^2}$ $

Answer 3

En general, considere la sustitución $v = x^p y^q$ (con $q \ne 0$ ). Tenemos $$v' = p x^{p-1} y^q + q x^p y^{q-1} y'$ $ Si esto satisface una ecuación lineal de primer orden $$ v' = a(x) v + b(x) $ $ que se convierte en $$ p x^{p-1} y^q + q x^p y^{q-1} y'= a(x) x^p y^q + b(x) $ $ o $$ y' = \frac{a(x)x - p}{q x} y + \frac{b(x)}{q x^p} y^{1-q} $ $ Esto solo puede coincidir con su ecuación original en el caso $q=-2$ .