Integrales impropias en el análisis

Question

Deje $f:[0,\infty) \rightarrow \mathbb{R}$ ser una función continua y deje $g(x)=\frac{1}{x}\int_1^x f(t)dt$; $x>0$. Suponga que $\lim_{x\rightarrow \infty} g(x)=B$ existe. Deje $0 < a < b$ dos números fijos. Mostrar $$\lim_{T\rightarrow \infty}\int_{Ta}^{Tb}\frac{f(x)}{x}dx=B\ln\left(\frac{b}{a}\right)$$

Aquí está mi solución parcial: $g(x)=\frac{1}{x}\left(F(x)-F(1)\right) \Rightarrow f(x)=g(x)+xg'(x)$, por lo Tanto: $$\begin{align*} \lim_{T\rightarrow \infty}\int_{Ta}^{Tb}\frac{f(x)}{x}dx&=\lim_{T\rightarrow \infty}\int_{Ta}^{Tb}\frac{g(x)}{x}dx+\int_{Ta}^{Tb}g'(x)dx\\ &=\lim_{T\rightarrow\infty}\ln(Tb)g(Tb)-\ln(Ta)g(Ta)-\int_{Ta}^{Tb}g'(x)\ln(x)+\int_{Ta}^{Tb}g'(x)dx\\ &=\lim_{T\rightarrow \infty}B\ln\left(\frac{Tb}{Ta}\right)-\int_{Ta}^{Tb}g'(x)\ln(x)+\int_{Ta}^{Tb}g'(x)dx\\ &=B\ln\left(\frac{b}{a}\right)+\dots \end{align*}$$

Puedo ver cómo $\lim_{T\rightarrow\infty}\int_{Ta}^{Tb}g'(x)dx=\lim_{T\rightarrow \infty}g(Tb)-g(Ta)=0$ pero no puedo ver para hacer la $-\int_{Ta}^{Tb}g'(x)\ln(x)$ ir a cero. Cualquier ayuda por que?

Answer 1

Tenemos que demostrar que $$\lim_{T\rightarrow \infty}\int_{Ta}^{Tb}\frac{f(x)}{x}dx=\lim_{T\rightarrow \infty}\int_{Ta}^{Tb}\frac{g(x)}{x}dx+\lim_{T\rightarrow \infty}\int_{Ta}^{Tb}g'(x)dx=B\ln\left(\frac{b}{a}\right).$$ Usted ya ha notado $$\lim_{T\rightarrow\infty}\int_{Ta}^{Tb}g'(x)dx=\lim_{T\rightarrow \infty}g(Tb)-g(Ta)=0.$$ En cuanto a las otras integral $$\begin{align*}\lim_{T\rightarrow \infty}\int_{Ta}^{Tb}\frac{g(x)}{x}dx &= \lim_{T\rightarrow \infty}\left(\int_{0}^{Tb}\frac{g(x)}{x}dx-\int_{0}^{Ta}\frac{g(x)}{x}dx\right)\\ &=\lim_{T\rightarrow \infty}\left(\int_{0}^{T}\frac{g(bt)}{bt}d(bt)-\int_{0}^{T}\frac{g(ax)}{ax}d(ax)\right)\\ &= \int_{0}^{\infty}\frac{g(bt)-g(at)}{t}dt\\ &=(B-g(0))\ln\left(\frac{b}{a}\right)=B\ln\left(\frac{b}{a}\right) \end{align*}$$ donde en el último paso hemos utilizado el Frullani integral aplicado a la función de $g$ (aquí se supone que $g(x)=\frac{1}{x}\int_1^x f(t)dt$ para $x\geq 1$ e $g$ es ampliado continuamente a $0$ en $[0,1)$).