Débil -$*$ topología en dual algebraico

Question

Yo estaba mirando

Izzo, Alejandro J., Un análisis funcional de la prueba de la existencia de Haar medir localmente compacto Abelian grupos, Proc. Am. De matemáticas. Soc. 115, Nº 2, 581-583 (1992). ZBL0777.28006.

lo que demuestra la existencia de la Haar-medir localmente compacto abelian los grupos de Markov-teorema de Kakutani.

Lo que me parece extraño es que la medida de Haar es construido como un elemento más del doble de $C_c(X)$. Pero para noncompact $X$ (como $X$ siendo los números reales $\Bbb R$) esta debe ser una desenfrenada funcional (como la de Lebesgue-medida en $\Bbb R$ no es finito). Parece que el autor no tiene ningún problema con esto, y (sin mencionar además, se define un débil-* topología para este caso, e incluso utiliza de Banach-Alaoglu.

No he visto que esto se haga de esta manera antes, estoy malentendido algo o se puede definir un débil-* topología en el dual algebraico de una TV sin problemas?

Answer 1

Estoy de acuerdo con Paul Garrett que parece más razonable dotar $C_c(G)$ con el estricto límite inductivo de la topología y de considerar el dual topológico, que es isomorfo al espacio de todas las medidas de Radón en $G$ (en particular, infinito medidas que también dan lugar a la continua funcionales).

Sin embargo, el vinculado lema tiene también para el dual algebraico $X^\ast$. Lo que el autor llama a los débiles$^\ast$ topología en $X^\ast$ es el $\sigma(X^\ast,X)$ topología, yo.e, localmente convexo de la topología generada por la seminorms $p_x\colon\phi\mapsto|\phi(x)|$ para $x\in X$. Si ve $X^\ast$ como un subespacio de $\mathbb{R}^X$, entonces esto es solo el (inducida por la topología de) el producto de la topología. Esto ya nos da una pista de cómo probar esto generalizada de Banach-Alaoglu teorema.

Para $x\in X$ deje $K_x$ es el cierre de $\{\Lambda(x)\mid\Lambda\in K\}$. Por supuesto, $K_x$ es compacto. A continuación, $K$ es un subconjunto de a$\prod_{x\in X}K_x$, que es compacto por el teorema de Tychonoff. Desde $K$ también se supone que es cerrado en $X^\ast$, es suficiente para mostrar que $X^\ast$ es un subconjunto cerrado de $\mathbb{R}^X$, que es bastante sencillo.

Answer 2

Probablemente la topología en $C^o_c(\mathbb R)$ (o para otros no topológicos compactos grupo en lugar de a$\mathbb R$) no es lo que se anticipa. Es que no sup norma, por ejemplo. Es un ascendente de la unión, de manera categórica una "estricta colimit" (=estricto límite inductivo=...) de los espacios de la forma $C^o(K)$ como $K$ rangos de subconjuntos compactos de $\mathbb R$. (Estos son espacios de Banach.)

En particular, a partir de la caracterización de la asignación de la propiedad de "colimit", un lineal o mapa funcional de $C^o_c(\mathbb R)$ es continua si y sólo si su restricción a cada una de las $C^o(K)$ es continua.

Para el dual de $C^o_c(\mathbb R)$ no se incluyen los "unbounded" funcionales en un cierto sentido, ya que incluso en tales espacios "continuo" todavía es equivalente a "limitado"... pero "limitado" tiene más complicado sentido.