Recientemente me encontré con el siguiente problema
Deje $h : \Bbb C → \Bbb C$ ser una analítica de la función tal que $h(0) = 0, h(1/2) = 5$, e $|h(z)| < 10$ para $|z| < 1$. A continuación, escoja la afirmación correcta(s):
- el conjunto $\{z : |h(z)| = 5\}$ es ilimitado por el Principio del Máximo
- el conjunto $\{z : |h'(z)| = 5\}$ es un círculo de estrictamente positivo radio
- $h(1) = 10$
- independientemente de lo $h'$ es, $h'' \equiv 0$.
Mi pruebe
Considere la posibilidad de $f(z)=\frac{h(z)}{10}$ e $f$ satisface las hipótesis del lema de Schwarz, así $$\vert f(z) \vert \leq \vert z \vert$$ and so $$\vert h(z) \vert \leq 10 \vert z \vert ^1$$ so by extended Lioville's theorem, $h$ is a polynomial of degree atmost $1$. So $h$ is either constant or linear. But given hypothesis implies $h$ is not constant and $h$ is exactly $10z$. That is, $$(\forall z \in \Bbb C): h(z)\equiv 10z$$
Por lo que en la primera viñeta es un círculo $\vert z \vert =1/2$ ,que está limitada y por lo que es falso
El segundo conjunto es $\varnothing$ y para el segundo es falso
Tercero y cuarto son verdaderas. Desde $h$ es lineal , su segunda derivada se desvanece!
Es mi razonamiento correcto ? Los pensamientos?
Edit: estoy de acuerdo en que mi razonamiento en el mal, como el Señor Kavi Rama Murthy dice en el comentario. Así que esta $h(z)=10z$ ayuda a eliminar las dos primeras opciones. Pero, ¿cómo la conclusión de los dos últimos. Alguna ayuda ?
