Prueba por inducción con raíz cuadrada en el denominador: $\frac1{2\sqrt1}+\frac1{3\sqrt2}+\dots+ \frac1{(n+1)\sqrt n} < 2-\frac2{\sqrt{(n+1)}}$

Question

Necesito probar $\frac{1}{2\sqrt1} + \frac{1}{3\sqrt2} + ... + \frac{1}{(n+1)\sqrt n} < 2 - \frac{2}{\sqrt{(n+1)}}$ por inducción para cada $n \in \mathbb{N} $ . Por favor, ayuda, estoy atascado en esto desde los últimos 2 días .. Gracias.

Answer 1

Sin inducción se puede demostrar inmediatamente como sigue:

$$\sum_{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{k}(k + 1)}\leq \sum_{k=1}^n\frac{1}{k \sqrt{k}} < \int_1^{n+1}\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}\,dx =\left[-2\frac{1}{\sqrt{x}} \right]_1^{n+1} = 2 -\frac{2}{\sqrt{n+1}}$$

Answer 2

Gran respuesta de trancelocation pero en caso de que todavía lo quieras, aquí está cómo hacer el paso de inducción para una prueba inductiva. Primero observamos la siguiente regla general de los cuadráticos:

$$(n + \tfrac{a+b}{2})^2 - (n+a)(n+b) = (\tfrac{a-b}{2})^2.$$

Utilizando esta regla con $a=1$ y $b=2$ tenemos:

$$(n+\tfrac{3}{2})^2 > (n+1)(n+2).$$

Reordenando esta desigualdad se obtiene:

$$\frac{(n+\tfrac{3}{2})^2}{n+1} > n+2.$$

Nuestro paso inductivo puede realizarse ahora como sigue:

$$\begin{equation} \begin{aligned} \sum_{k=1}^{n+1} \frac{1}{(k+1)\sqrt{k}} &= \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(k+1)\sqrt{k}} + \frac{1}{(n+2)\sqrt{n+1}} \\[6pt] &< 2 - \frac{2}{\sqrt{n+1}} + \frac{1}{(n+2)\sqrt{n+1}} \\[6pt] &= 2 - \frac{2(n+2)-1}{(n+2)\sqrt{n+1}} \\[6pt] &= 2 - \frac{2n+3}{(n+2)\sqrt{n+1}} \\[6pt] &= 2 - \frac{2}{(n+2)} \cdot \frac{n+\tfrac{3}{2}}{\sqrt{n+1}} \\[6pt] &< 2 - \frac{2}{(n+2)} \cdot \sqrt{n+2} \\[6pt] &= 2 - \frac{2}{\sqrt{n+2}} . \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$$