Si$\tan{\frac{x}{2}}=\csc x - \sin x$, entonces encuentre el valor de$\tan^2{\frac{x}{2}}$.

Question

Si $\tan{\frac{x}{2}}=\csc x - \sin x$ , entonces encuentre el valor de $\tan^2{\frac{x}{2}}$ .

SUGERENCIA: La respuesta es $-2\pm \sqrt5$ .

Lo que he intentado hasta ahora: $$\tan{\frac{x}{2}} = \frac{1}{\sin x}-\sin x$ $ $$\tan{\frac{x}{2}} = \frac{1-\sin^2 x}{\sin x}$ $ $$\tan{\frac{x}{2}} = \frac{\cos^2 x}{\sin x}$ $

No sé cómo resolver este problema. Por favor ayuda Gracias :)

Answer 1

Observe que $$ \ cos (x) = \ frac {1 - \ tan ^ 2 (x / 2)} {1+ \ tan ^ 2 (x / 2)} $$ y que $$ \ tan ^ 2 (x / 2) = \ frac {\ cos ^ 4 (x)} {1- \ cos ^ 2 (x)} $$ Sea $t = \cos(x)$ . Enchufe la segunda ecuación en la primera y después de un poco de álgebra, obtenemos $$ (1-t) (1-t ^ 2-t ^ 4) = 0 $$

Answer 2

$$\cos^2x=\tan\dfrac x2\sin x=\dfrac{\sin\dfrac x2}{\cos\dfrac x2}\cdot2\sin\dfrac x2\cos\dfrac x2=2\sin^2\dfrac x2=1-\cos x$$

$$\implies\cos x=\dfrac{-1\pm\sqrt5}2$$

Como para el real $x,\cos x\ge-1,\cos x\ne\dfrac{-1-\sqrt5}2<-1$

El Uso De Weierstrass Sustitución De $$\dfrac{1-\tan^2\dfrac x2}{1+\tan^2\dfrac x2}=\cos x=\dfrac{-1+\sqrt5}2$$

Ahora aplicar Componendo et de la fundación " dividendo

Answer 3

Sugerencia: utilice ese $$ \ frac {1} {\ sin (x)} - \ sin (x) = 1/2 \, {\ frac {1+ \ left (\ tan \ left (x / 2 \ right) \ right) ^ {2}} {\ tan \ left (x / 2 \ right)}} - 2 \, {\ frac {\ tan \ left (x / 2 \ right)} {1+ \ left (\ tan \ left (x / 2 \ right) \ right) ^ {2}}} $$