Centro es un subgrupo normal de G

Question

Este es un problema de Herstein Temas del Álgebra.

Ya he demostrado el resultado anterior utilizando la definición de normal subgrupo. Pero ahora quiero probarlo mediante la construcción de un homomorphism tal que el núcleo es el centro del grupo G.

¿Cómo puedo construir homomorphism?

Yo estaba pensando en ir como este. Dado un $g$ en $G$ construcción $E_g(x)=g x g^{-1}$

Así que, dado que cada elemento tenemos una transformación. Conjunto de transformaciones como esta forma un grupo con inversa dada por $E_{g^{-1}}$.

Núcleo consiste de todos aquellos elementos para los que se $E_g$ es la identidad. En otras palabras, $E_g(x)=x$ o $g x g^{-1}=x$ o $gx=xg $ para todos los $x$. Que es $g$ viajes con todo lo en $G$.

Voy en la dirección correcta.

Edit: me había interesado en probar el resultado a través de homomorphism enfoque como el problema está en la sección 2.7, que se titula homomorphisms. Herstein debe estar esperando para tomar esta ruta.

Answer 1

Están muy cerca. Usted ya tiene una manera de transformar $g$ en un elemento de... algo ... donde $g$ se transforma en la identidad de la función si y sólo si $g$ communtes con todo lo en $G$. Usted también sabe que algo contiene algún tipo de asignaciones.

Ahora lo que necesita para escribir eso con los términos correctos. Es decir, en lugar de "transformar $g$ a un elemento de un conjunto que contiene las asignaciones, usted necesita para

1. Escriba exactamente lo que establezca $g$ es el mapeo en, lo que la operación en la que el conjunto es, y asegúrese de que es un grupo.
2. Anote la asignación como un mapeo entre los dos grupos
3. Demostrar que la asignación es un homomorphism.