Métodos de descubrimiento matemático

Question

Hay muchos métodos de prueba: prueba directa, prueba por contraposición, prueba por contradicción, prueba por inducción, prueba por casos, prueba por ordenador... Por otra parte, el proceso de descubrimiento matemático me parece bastante misterioso. Tomemos como ejemplo la inducción. Para hacer la inducción, primero necesito que me den la conjetura correcta. Digamos que quiero

Prueba $$\sum_{k=1}^{n} k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$

en comparación con

Encuentre una fórmula general de $$\sum_{k=1}^{n} k^2$$

Esto último es mucho más difícil. Yo haría la primera por inducción, pero la segunda es otra historia. En términos más generales, ¿cómo hacen los matemáticos sus descubrimientos? Un ejemplo histórico de un enfoque heurístico sería suficiente. Perdón si mi pregunta es demasiado amplia.

Answer 1

A menudo, los matemáticos hacen descubrimientos al trabajar en un problema aplicado y enfrentarse a un problema matemático que es nuevo o, al menos, poco conocido. La resolución de las matemáticas necesarias para un problema aplicado inmediato puede dar lugar a nuevos resultados matemáticos, y una vez hecho esto, a menudo hay extensiones/generalizaciones naturales del problema aplicado que pueden conducir a problemas matemáticos más amplios, que tienen resultados correspondientemente más amplios. Si el problema matemático resulta surgir en una gran cantidad de problemas aplicados diversos (lo que ocurre a menudo), entonces el resultado matemático pasa a ser de interés directo.

El ejemplo que pones en tu pregunta es un problema matemático muy conocido, y se plantea en un gran número de problemas aplicados en todo tipo de campos matemáticos aplicados. Aunque ahora es bien conocido, hace tiempo era nuevo y no tenía una fórmula general conocida. La fórmula de la suma de cuadrados de la primera $n$ números naturales (llamados números piramidales cuadrados ) fue derivado por Fibonacci en 1202 en su libro Liber Abbaci (El libro del cálculo). Una generalización natural del problema es considerar otras potencias enteras positivas, y este último problema conduce a una forma general llamada fórmula de Bernoulli-Faulhaber. Esta forma general de esta suma para cualquier potencia entera positiva fue publicada por Jacob Bernoulli en 1713 en su libro Ars Conjectandi (El arte de la conjetura), y más tarde fue descubierto de forma independiente por Johann Faulhaber. En este caso concreto se dieron las fórmulas, pero no se produjo una prueba formal de la corrección hasta el siglo XIX. Hubo muchas extensiones posteriores que ampliaron esta suma para permitir los números complejos, buscando la relación con la función Reimann-zeta, etc.

Como se puede ver en este ejemplo, los descubrimientos matemáticos pueden implicar un descubrimiento inicial de una solución a algún problema matemático relativamente estrecho, y luego el descubrimiento posterior de soluciones a generalizaciones naturales de ese problema. Esto puede ocurrir en una expansión gradual a medida que se hacen más y más extensiones, y se derivan relaciones entre otros resultados y objetos matemáticos. A menudo, el descubrimiento inicial no se realiza mediante una prueba estricta, sino que puede hacerse con una demostración heurística, y la prueba formal puede venir después (a menudo de un autor diferente).

Answer 2

La respuesta de Ben es buena (¡vótela!), pero también podría interesarle el papel de los experimentos informáticos en la búsqueda de patrones que luego pueden conducir a descubrimientos matemáticos. Jonathan Borwein fue un exponente bastante conocido de esto (ver aquí: https://carma.newcastle.edu.au/jon/index-books.shtml ) por ejemplo.

Antes de los ordenadores, los matemáticos solían ver los primeros términos de un problema mediante cálculos manuales: ahora tenemos a menudo la posibilidad de ver cientos de términos, y probar hipótesis muy rápidamente. Esto puede dar lugar a momentos de conocimiento que permiten la reducción a fórmulas más sencillas.

Generación de funciones (creo que la referencia estándar es probablemente esta: https://www.math.upenn.edu/~wilf/gfologyLinked2.pdf ) son también una buena forma de deducir una fórmula más sencilla a partir de términos conocidos de algo.