Si$\left(\sqrt{\gamma_n}\right)_{n\in\mathbb N}$ es$L^2(\mu)$ - Cauchy, ¿converge$\left(\gamma_n\right)_{n\in\mathbb N}$ en$L^1(\mu)$?

Question

Deje $(\Omega,\mathcal A,\mu)$ ser un espacio medible

Supongamos $(g_n)_{n\in\mathbb N}$ es una secuencia de delimitada $\mathcal A$-funciones medibles $g_n:\mathbb R\to\mathbb R$ tal que $\left(\sqrt{\gamma_n}\right)_{n\in\mathbb N}$ es $L^2(\mu)$-Cauchy. Podemos concluir que no hay una única $\gamma\in L^1(\mu)$ con $\left\|\gamma_n-\gamma\right\|_{L^1(\mu)}\xrightarrow{n\to\infty}0$?

Answer 1

Si $\sqrt{\gamma_n}$ es $L^2(\mu)$ -Cauchy, existe $\delta\in L^2(\mu)$ tal que $$ \ lim_ {n \ to \ infty} \ | \ sqrt {\ gamma_n} - \ delta \ | _ { L ^ 2} = 0. $$ Observe que $$ \begin{align*} \int_\Omega |\gamma_n-\delta^2|d\mu &= \int_\Omega |\sqrt{\gamma_n}-\delta| |\sqrt{\gamma_n}+\delta|d\mu\\&\le\left(\int_\Omega |\sqrt{\gamma_n}-\delta|^2 d\mu\right)^{1/2}\left(\int_\Omega |\sqrt{\gamma_n}+\delta|^2d\mu\right)^{1/2}\\ &\le \|\sqrt{\gamma_n}-\delta\|_{L^2}\|\sqrt{\gamma_n}+\delta\|_{L^2}\\&\le \|\sqrt{\gamma_n}-\delta\|_{L^2}\left(\|\sqrt{\gamma_n}\|_{L^2}+\|\delta\|_{L^2}\right). \end {align *}$$ Since $ \ | \ sqrt {\ gamma_n} \ | _ {L ^ 2} \ le M$, $ \ | \ delta \ | _ {L ^ 2} \ le M$ for some $ M> 0 $ , tenemos $$ \begin{align*} \|\gamma_n -\delta^2\|_{L^1}=\int_\Omega |\gamma_n-\delta^2|d\mu \ \le\ 2M \|\sqrt{\gamma_n}-\delta\|_{L^2}\xrightarrow{n\to\infty} 0 \end {align *}$$ as wanted. This $ L ^ 1 $ -limit es, por supuesto, único.