(a) Suponer eso . Demostrar eso .

Question

Deje $ABCD $ a un tetraedro s.t. $ \angle ABD=\angle BDC $ e $ \angle BAC=\angle ACD$.

Mostrar que $AB=CD $.

Construyo $DD_1, CC_1 \perp AB $, $C_1, D1\in AB $ e $AA_1, BB_1\perp CD $ , $B_1, A_1\in CD $. Por congruencias de triángulos tenemos $BD_1=DB_1$ e $AC_1=CA_1$. Si $AB\perp CD$ entonces es fácil debido a $C_1=D_1$ e $A_1=B_1$.

Ahora estoy atascado.

Answer 1

Después de varios intentos fallidos para refutar esto, por fin lo he conseguido.

Deje $\alpha,\beta,\gamma,\delta$ ser los vectores $B-A,D-B,C-D,A-C$ respectivamente. Desde $A,B,C,D$ no se encuentran en un plano, no hay dos de estos vectores son paralelos.

Elija coordenadas para que $\alpha=\|\alpha\|\cdot (\cos\theta,\sin\theta,0)$ e $\gamma=\|\gamma\|\cdot (\cos\theta,-\sin\theta,0)$; la primera coordenada del eje es paralelo a $\frac{\alpha}{\|\alpha\|}+\frac{\gamma}{\|\gamma\|}$, el segundo es paralelo a $\frac{\alpha}{\|\alpha\|}-\frac{\gamma}{\|\gamma\|}$, y la tercera es ortogonal tanto a $\alpha$ e $\gamma$. Desde $\alpha$ e $\gamma$ no son paralelas, $\sin\theta\neq 0$. ¿Cuál es el punto? Deje $v=(x,y,z)$ ser un vector arbitrario. Tenemos $$\frac{\langle v,\alpha\rangle}{\|v\|\cdot\|\alpha\|}=\frac{x\cos\theta+y\sin\theta}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\text{ and }\frac{\langle v,\gamma\rangle}{\|v\|\cdot\|\gamma\|}=\frac{x\cos\theta-y\sin\theta}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}$$ Estos son iguales si y sólo si $y=0$. Tenemos una buena caracterización de todos los vectores que hacer de la igualdad de los ángulos con $\alpha$ e $\gamma$.

Ahora, nos fijamos en las condiciones en nuestro triángulos. $\angle ABD$ es el ángulo entre el $\alpha$ e $\beta$, $\angle BDC$ es el ángulo entre el $\beta$ e $\gamma$, $\angle BAC$ es el ángulo entre el $\delta$ e $\alpha$, e $\angle ACD$ es el ángulo entre el $\gamma$ y $\delta$. Las dos primeras son iguales significa que $\beta$ hace de la igualdad de los ángulos con $\alpha$ e $\gamma$. El último de los cuales dos son iguales significa que $\delta$ hace de la igualdad de los ángulos con $\alpha$ e $\gamma$. Así, tanto la $\beta$ e $\delta$ estar en ese avión $y=0$.

Finalmente, $\alpha+\beta+\gamma+\delta=B-A+D-B+C-D+A-C=0$. Mira el $y$-coordinar de esta suma $\alpha+\beta+\gamma+\delta$: $$0 = \|\alpha\|\cdot\sin\theta+0+\|\gamma\|\cdot(-\sin\theta)+0=(\|\alpha\|-\|\gamma\|)\sin\theta$$ Como se señaló anteriormente, $\sin\theta\neq 0$ , y debemos tener $\|\alpha\|=\|\gamma\|$. Esas son las longitudes $AB$ e $CD$, y hemos terminado.

En una nota de lado, la naturaleza tridimensional de esto es crucial. La afirmación es falsa por cuatro puntos de $A,B,C,D$ en un avión, ya que podríamos tener un trapecio $ABCD$ con $AB$ e $CD$ paralelo.