La evaluación de la integral de la $ \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\cos \left(x-\frac{1}{x} \right)}{1+x^{2}} \ dx$

Question

Tengo curiosidad acerca de la forma correcta de evaluar $$ \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\cos \left(x-\frac{1}{x} \right)}{1+x^{2}} \, dx = \text{Re} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{i(x- \frac{1}{x})}}{1+x^{2}} \, dx$$ usando el contorno de la integración.

Si dejo $f(z) = \frac{e^{i(z- \frac{1}{z})}}{1+z^{2}}$, no es una singularidad esencial en el origen.

Así que si puedo integrar alrededor de un semicírculo cerrado en la mitad superior del plano -, el contorno va a la derecha a través de la singularidad.

Se puede aplicar sangría a un contorno alrededor de una singularidad esencial?

Answer 1

El uso de la simetría: $$ \int_{\mathbb{R}} \frac{\cos\left(x-\frac{1}{x}\right)}{1+x^2} \mathrm{d}x = 2 \int_0^\infty \frac{\cos\left(x-\frac{1}{x}\right)}{1+x^2} \mathrm{d}x $$ Ahora, haciendo el cambio de variables $u = x-\frac{1}{x}$ hay dos soluciones: $$ x = x_{\pm}(u) = \frac{u}{2} \pm \sqrt{1 + \frac{u^2}{4}} $$ El cambio de variables: $$ 2 \int_0^\infty \frac{\cos\left(x-\frac{1}{x}\right)}{1+x^2} \mathrm{d}x = \int_{-\infty}^\infty \frac{2 \cos(u)}{1+x+(u)^2} \frac{x+^\prime(u)}{2} \mathrm{d}u + \int_{-\infty}^\infty \frac{2 \cos(u)}{1+x-(u)^2} \frac{x-^\prime(u)}{2} \mathrm{d}u $$ La combinación de estos, con unas simples álgebra: $$\begin{eqnarray} 2 \int_0^\infty \frac{\cos\left(x-\frac{1}{x}\right)}{1+x^2} \mathrm{d}x &=& \int_{-\infty}^\infty \frac{2 \cos(u)}{4+u^2} \mathrm{d}u = \\ &=& \Re \int_{-\infty}^\infty \frac{2 \mathrm{e}^{i u}}{4+u^2} \mathrm{d}u = \Re\left( 2 \pi i \operatorname{Res}_{u=2i} \frac{2 \mathrm{e}^{i u}}{4+u^2}\right) = \frac{\pi}{\mathrm{e}^2} \end{eqnarray} $$ Tenga en cuenta que la sustitución anterior está relacionado con el de Cauchy-Schmlolich de sustitución (véase el arXiv:1004.2445).

---

Numérico de verificación:

In[68]:= N[
  NIntegrate[Cos[x - 1/x]/(1 + x^2), {x, -Infinity, Infinity}, 
   WorkingPrecision -> 20]] == Pi/E^2

Out[68]= True

Answer 2

Tienes razón que el residuo de cálculo es suficiente. Tenga en cuenta que

$$\left|\int_0^\pi \frac{e^{i(z-z^{-1})}}{1+z^2} \times ir e^{i\theta}\mathrm{d}\theta\right|$$

está delimitado por la

$$r\left|\int_0^\pi e^{-\frac{1}{r} \times \sin\theta}\mathrm{d}\theta\right| < r\pi \to 0$$

Por tanto, la sangría de las contorno alrededor del origen hace ninguna diferencia entre el verdadero integral y el más complejo. A continuación, anote el integrando es meromorphic dentro de la región con este límite. El comportamiento fuera de este contorno es irrelevante, esencial singularidades o de otra manera.

Por lo tanto el residuo en $i$, $\boxed{\pi/e^2}$, es el valor correcto.

El argumento no funciona, por ejemplo, un contorno que pasa por el origen ya que la función no es analítica en el origen, a fin de Cauchy teorema no se aplica.