Don ' t ver el punto del teorema Fundamental de cálculo.

Question

$$\frac{d}{dx}\int_a^xf(t)\,dt$$

Me encantaría entender qué es exactamente el punto de la FTC. No estoy interesado en la mecánica produciendo soluciones a los problemas. No dice nada que no se haya conocido. Antes de leer acerca de la FTC, la integral se define como la anti-derivada. Así, se trata básicamente de un operador. "Tomar la anti-derivada por averiguar cuya derivada es esto!" Simple. Así que, ¿qué es lo "fundamental" sobre la forma redundante la reformulación de la definición de la integral? (La derivada de la anti-derivada es la función). Esto para mí es como decir $-(-1) = +1$. No exactamente mundo.

Me estoy perdiendo algo con respecto a los indefinidos frente de la integral definida?

Si nos fijamos en un ejemplo simple, $$\frac{d}{dx}\int_1^xt^2 \, dt = \cdots =x^2$$

Podemos discutir qué es exactamente esta es la que representa?

1. ¿Por qué escribo esto? ¿Por qué tomar la tasa de cambio de un área bajo la curva? ¿Por qué quieres tomar el derivada de una integral? O, se trata simplemente de hacer para demostrar algo otra cosa? Cuando usted incluso llegado a través de esta situación en Matemáticas? Tomando la tasa de cambio del área bajo una curva y/o desplazamiento total? (derivado de la integral definida)
2. También, ¿cuál es la importancia del uso de $t$ como una variable?
3. ¿Por qué integrar de una constante o una función en el primer lugar? (tomar área bajo la curva de cómputo o desplazamiento total)

Yo no entiendo qué es exactamente lo que las cosas FTC incluso permite que cualquiera pueda hacer. Sin FTC, ya puedo evaluar integrales definidas. Sin FTC, ya puedo tomar derivados. Así, con la FTC, yo puedo tomar una integral, a continuación, tomar un derivado? Así que, lo que es aún el punto de la FTC? Yo realmente no veo nada de "fundamental" en absoluto acerca de este redundantes auto-evidente "teorema". Esto es como tomar el inverso de una matriz inversa. A la derecha de nuevo a f(x), sino que simplemente es un "truco" frente a un "Teorema Fundamental del Álgebra".

Answer 1

Supongo que te han enseñado que una integral es una antiderivada, y en estos términos su queja está plenamente justificada: esto hace que la FTC una trivialidad.

Sin embargo la "correcta" de la definición de una integral es muy diferente de esta y se basa en las sumas de Riemann. Demasiado largo de explicar aquí, pero habrá muchas referencias en línea.

Otra cosa que usted podría pensar, sin embargo. La forma en que te han enseñado, hace obvio que una integral es el opuesto de un derivado. Pero entonces, si la integral es el opuesto de un derivado, esto hace que sea extremadamente no-obvio que la integral puede ser utilizada para calcular las áreas!

Comentario: para mantener los verdaderos expertos feliz, reemplazar "la definición apropiada" por "una de las definiciones adecuadas" en mi segunda frase.

Answer 2

Usted piensa que usted ya sabe que las integrales definidas tener algo que ver con anti diferenciación. Probablemente usted piensa esto porque $\int_a^b f(x) \, dx$ se parece sorprendentemente similar a $\int f(x) \, dx$.

Pero, sin la FTC, estas dos cosas tienen nada que ver el uno con el otro.

Son dos completamente desvinculadas de las operaciones que por alguna extraña razón comparten un símbolo.

$\int f(x) \, dx$, como nota, significa que la antiderivada de $f(x)$.

Pero $\int_a^b f(x) \, dx$ significa que el área entre la curva que se obtiene cuando usted gráfica de $f(x)$ y $x$-eje, sobre el intervalo $[a,b]$. Sin la FTC, no hay ninguna razón para esperar que esto tenga nada que ver con la antiderivada (o "integral indefinida".)

Answer 3

Como las integrales y sus derivados se presentan en Apostol del Cálculo, se hace muy evidente que la relación entre ellos, el Teorema Fundamental del Cálculo-es bastante notable y un poco inesperado.

Apostol en realidad introduce la noción de una integral primera: la notación $$\int_{x=a}^b f(x) \, dx$$ es la intención de representar el firmado el área encerrada por una función $f(x)$ y $x$-eje, en el intervalo de $x \in [a,b]$. Esta idea de la "zona" es algo familiar para nosotros desde la enseñanza elemental de la geometría, y no es difícil de conceptualizar el "área bajo la curva" como una extensión de las áreas de más familiarizados con formas geométricas, tales como polígonos y círculos. Por lo tanto, parece natural hablar sobre el área encerrada por la curva de una parábola $f(x) = x^2$ y $x$-eje en el intervalo $[0,1]$. De hecho, Arquímedes de Siracusa, hace miles de años, utilizó un método muy similar a las sumas de Riemann para obtener áreas encerradas por segmentos parabólicos.

Ahora vamos a cambiar de marcha y hablar sobre los instrumentos derivados: un derivado de $f'(x)$ de una función $f(x)$ en el punto $x = a$ tiene la interpretación geométrica de la pendiente de la línea tangente a la función en ese punto. En términos generales, cuanto mayor es este valor, mayor es la rapidez con la función $f(x)$ es creciente en ese punto. Más formalmente, $$f'(a) = \lim_{x \a} \frac{f(x) - f(a)}{x-a}.$$

Lo que hace que la integral y la derivada de los conceptos de cálculo (análisis o, si se prefiere), es que ambos son ideas matemáticas que implican algún tipo de limitación de proceso: la (de Riemann) integral se entiende como la suma de las áreas rectangulares definidas por cada vez más refinada de las particiones del intervalo $[a,b]$, y la derivada es entendida como la pendiente de la secante de la línea como un punto de intersección de los enfoques del otro.

Tenga en cuenta que en estos contextos, es que no es en absoluto evidente que los dos conceptos están relacionados. Sin embargo, el Teorema Fundamental del Cálculo estados (en un formulario) que $$\int_{x=a}^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)$$ donde $F(x)$ es una función satisfactoria $F'(x) = f(x)$. Esto nos da un medio para calcular , sin recurrir a la suma de Riemann de una integral definida como la diferencia de que el integrando de la antiderivada en el intervalo de extremos. (De hecho, la FTC es una unidimensionales caso especial de Stokes Teorema y como tal tiene un conocimiento más profundo, pero que no está en el alcance de nuestro análisis).

Así que, en resumen, la FTC no es trivial resultado. Apostol no en el hecho de proporcionar un cuasi-heurística geométrica de la "prueba" de por qué esta relación debe existir, y es que vale la pena leer. Y si vamos a tener una correcta apreciación de cálculo, que ayuda a tener la adecuada pedagogía y la motivación que el texto proporciona. Pero si usted desea entender los fundamentos de cálculo más, una más rigurosa y menos de cómputo orientado al tratamiento, se recomienda, que se encuentra en Walter Rudin los Principios de Análisis Matemático.

Answer 4

Desde un punto de vista intuitivo, $F(x)=\int_a^xf(t)dt$ puede ser visto como un acumulativa función que cuenta los valores de $f$ de $un$ a lo $x$ es. Con esto en mente, no sería de extrañar que $\frac{d}{dx}F(x)=f(x)$.

Desde un punto de vista teórico, la FTC de la parte 2 es el teorema que nos permite escribir $$\int_a^b f(t)dt=\left.F(t)\right|_a^b$$ donde $F(t)$ es una antiderivada de $f(t)$. En otras palabras, FTC2 nos permite evaluar integrales definidas utilizando las integrales indefinidas.

La FTC nos permite definir nuevas funciones mediante la integración de otros, tales como $$\operatorname{fer}(x)\triangleq\int_2^x e^{t^2}dt\hspace{30pt}\hspace{30pt}\operatorname{Li}(x)\triangleq\int_2^x \frac{dt}{\operatorname{ln}(t)}$$ $$\operatorname{C}(x)\triangleq\int_2^x \cos{t^2}dt\hspace{20pt}\hspace{30pt}\operatorname{S}(x)\triangleq\int_2^x \sin{t^2}dt$$

Answer 5

El teorema fundamental del cálculo es sólo un continuo generalización de la telescópico de la serie.

Supongamos que tenemos una secuencia de números, $$x_1,~x_2,~x_3,~\dots,~x_n,$$ como, por ejemplo, $1,2,5,7,12$.

Usted puede considerar la secuencia de las diferencias entre cada número y el siguiente, $$x_2-x_1,~x_3-x_2,~x_4-x_3,~\dots,~x_n-x_{n-1},$$ que en el ejemplo sería, $1,3,2,5$.

Si se suman las diferencias, la mayoría de los términos en la suma cancelar y se obtiene el total de la diferencia entre el primero y el último número, \begin{align} & (x_2-x_1) + (x_3-x_2) + (x_4-x_3) + \dots +(x_n-x_{n-1}) \\ y= -x_1 + (x_2 - x_2) + (x_3 - x_3) + \dots + (x_{n-1}-x_{n-1}) + x_n \\ &= x_n - x_1. \end{align} En el ejemplo, esta es la, $1 + 3 + 2 + 5 = 11 = 12-1$.

En el teorema fundamental del cálculo el concepto es el mismo, pero con las siguientes sustituciones:

• En lugar de una de las secuencias que tienen funciones.
• En lugar de las diferencias que tiene la derivada.
• En lugar de la suma que usted tiene la integral.