Generalización del teorema fundamental de la dualidad.

Question

El "teorema fundamental de la dualidad" estados:

Si $X$ es un espacio lineal real y $f, f_1,...,f_n$ son funcionales lineales en $X$, a continuación, $f$ se encuentra en el intervalo de $f_1,...,f_n$ (es decir, $f = \sum_{i=1}^n \lambda_i f_i$, donde $\lambda_i \in \mathbb R$) si y sólo si $\bigcap_{i=1}^n ker \ f_i \subseteq ker \ f$ (donde $ker \ g = \{x \in X: g(x)=0\}$).

Mi pregunta es:

Puede alguien por favor me dirija a una referencia que generaliza este resultado arbitraria de las colecciones de funcionales lineales?

En otras palabras, si $I$ es arbitraria conjunto de índices, que me estoy preguntando cómo caracterizar $$\bigcap_{i \in I} ker \ f_i \subseteq ker \ f.$$ Intuitivamente, sospecho que la declaración equivalente es algo así como: no existe un finitely aditivo firmado medida $\mu$ a $2^I$ tal que para todos los $x \in X$ $$ f (x) = \int f_i (x) \ \mu(di).$$ Pero esto va a ser complicado, ya que implica finitely aditivo integración de potencialmente ilimitada de funciones. (Claramente, sin embargo, esta condición es suficiente para que la condición acerca de los núcleos de mantener. La dificultad está en que muestra que también es necesario.)

De todos modos, seguramente generalizaciones del teorema fundamental de la dualidad han sido exploradas, y las referencias o punteros sería apreciada.

Answer 1

Esta no es una respuesta, pero no se ajusta como un comentario, así que estoy publicando aquí. Tengo la esperanza de que los más expertos que yo (es decir, casi todos) puede opinar sobre esto, porque he tenido la misma pregunta desde que me encontró por primera vez este teorema, y han miró a su alrededor en busca de referencias, sin encontrar ninguna. Una idea obvia es imitar la prueba usual en el caso finito, es decir, trate de mapa de $X$ en un "buen" espacio vectorial, y el uso de la inducida por el mapa de este espacio en $\mathbb R$ escribir $f$ como alguna combinación de las $f_i.$

Así que, tome $\pi: X\to \mathbb R^{I}:x\mapsto \prod_{i\in I}f_i(x).$ Desde $\bigcap_{i \in I} \text {ker} \ f_i \subseteq \text{ker} \ f,$ no es un bien definido lineal mapa de $F$ tal que $F\circ \pi=f.$ Pero como lo que yo puedo decir, poco más se puede decir, incluso si $I$ es contable. El problema es que no hay forma de evitar el hecho de que cada una de las $f_i\neq 0$ tiene rango de todos los de $\mathbb R$ lo $\mathbb R^I$ no puede ser reducido a un "agradable" el espacio, como $\ell^p$ por ejemplo.