¿Cómo probar que$\{G_i\to F\}$ está abierto cubriendo solo si$\forall$ campo$K$,$F(Spec K)=\cup_iG_i(Spec(K))$?

Question

Este es un ejercicio de Eisenbud, Harris, de la Geometría de los Esquemas de VI-11 ya que esta parte se omite en Mumford Geometría Algebraica II. Creo que encontré una manera de hacerlo, pero no estoy completamente seguro.

$\{G_i\to F\}$ es una colección de abrir subfunctors con $F:Schemes\to Set$ donde abrir subfunctors medios para que todas las $h_R=Hom(-,Spec(R)),\phi\in Nat(h_R,F)$, $G_i\times_\phi h_R$ es un subfunctor de $h_R$ donde pullback se define afín a objetos.

Ahora $\{G_i\to F\}$ se llama a cubrir si para cualquier esquema de $X$ con $h_X=Hom(-,X)$ y cualquier $\phi\in Nat(h_X,F)$, $G_i\times_Fh_X$ es representable como $h_{U_i}$ con $U_i$ cubriendo $X$.

Mostrar que $\{G_i\to F\}$ está abierto cubriendo iff $F(Spec(K))=\cup G_i(Spec(K))$ todas $K$.

Dirección de avance es trivial mediante la aplicación de todos los functors a $Spec(K)$. El producto de fibra tiene 1 elemento o ninguno por la incrustación en $Hom(Spec(K), Spec(K))=Hom(K,K)=\{1_K\}$. De ello se deduce la igualdad de $F(Spec(K))=\cup G_i(Spec(K))$.

Yo soy una especie de tener problemas con la dirección inversa.

Si $F$ es representable como un esquema, que se reduce a demostrar la declaración para afín a sistemas en los que el $G_i$ se identificó como hom functor de abrir subschemes de esquema afín. El uso de todos los residuos de los campos para detectar la falta de puntos de cubrir. Entonces puedo ver que es, de hecho, forma una cubierta.

$\textbf{Q:}$ ¿Cómo puedo demostrar lo contrario declaración? Yo también soy una especie de tener trobule de captar el punto principal de lo contrario declaración. ¿Cuál es el sentido geométrico?

Answer 1

Suena como que usted ha demostrado que la parte más difícil de lo contrario. Voy a tomar como probado que si $Y_i$ están abiertos subschemes de un esquema de $X,$ y para cada campo de $K$ tenemos $X(K)=\bigcup Y_i(K),$ entonces $Y_i$ cubierta $X.$

Ejercicio VI-11. Deje $\{G_i \to F\}$ ser una colección de abrir subfunctors de un functor $F : \text{(schemes)} \to \text{(sets)}.$ Mostrar que este es un espacio abierto que cubre si y sólo si $F(\operatorname{Spec} K) = \bigcup G_i(\operatorname{Spec} K)$ para todos los campos de $K.$

Suponga $F(\operatorname{Spec} K)=\bigcup G_i(\operatorname{Spec} K).$ Fijar un esquema de $X$ e $\phi:h_X\to F.$ Hay abierto subschemes $Y_i$ de $X$ en representación $h_X\times_F G_i.$ Tenemos que mostrar que estos $Y_i$ cubierta $X.$

Considere la posibilidad de un campo de $K.$ Cada $K$punto $h_{\operatorname{Spec} K}\to h_X$ da $K$punto $h_{\operatorname{Spec} K}\to F$ componiendo con $\phi.$ estos factores a través de algunos $G_i\to F$ por hipótesis. Por la propiedad de un retroceso, por lo tanto, los factores a través de $h_{Y_i}.$ Hemos demostrado que todos los $K$-punto de $X$ es $K$-punto de uno de los subschemes $Y_i,$ es decir $X(K)=\bigcup Y_i(K).$ Desde $K$ fue un campo arbitrario, esto implica que $Y_i$ cubierta $X.$

De esta forma se comprueba que $\{G_i\to F\}$ es un abierto que cubre.

Como para la intuición: para el régimen caso, usted sabe que abra las cubiertas pueden ser detectados buscando en $K$-puntos por todos los campos de $K.$ Presheaves puede ser pensado más general de los espacios y del mismo modo es bueno saber que abra las cubiertas todavía se puede detectar observando su $K$-puntos.