Cómo resolver la oda de la forma$ a_n(y')^n + a_{n-1}(y')^{n-1} + \cdots + a_1 y' + a_0 =0 $

Question

$ a_n (y ') ^ n + a_ {n-1} (y') ^ {n-1} + \ cdots + a_1 y '+ a_0 = 0 $

Tampoco tengo claro cómo describir esto, ya que no es el noveno orden. El ser polinomial en el derivado no es algo que creo haber visto antes.

Answer 1

Bien. Como se señala en los comentarios de Seth.

Consideremos un ejemplo

\begin{align} (y')^2+2y'+1=0 \end {align} entonces sigue $y' = -1$ así que $y = -t+C$ .

Entonces, en general, obtendrá $y'=$ const. Entonces $y=\text{const}. t+C$ .

Answer 2

TLDR. Todos continuamente diferenciable soluciones de la educación a distancia son de la forma $y(t) = c + tz$ donde $z$ es un (posiblemente complejas) de la raíz de la correspondiente polinomio.

Deje $y:[0,T)\rightarrow\mathbb{R}$ donde $T\leq\infty$ ser continuamente diferenciable función de la satisfacción de la educación a distancia $$ a_{n} y^{\prime}(t))^{n}+\cdots+a_{1}y^{\prime}(t)+a_{0}=0. $$ Por el teorema fundamental del álgebra, si $a_{n}\neq0$, el correspondiente polinomio $$ a_{n}r^{n}+\cdots+a_{1}r+a_{0} $$ ha $n$ raíces complejas, llamarlos $z_{1},\ldots,z_{n}$. Podemos re-expresar la educación a distancia como $$ \left(y^{\prime}(t)-z_{1}\right)\cdots\left(y^{\prime}(t)-z_{n}\right)=0. $$ Por lo anterior, $y^{\prime}(t)=z_{k(t)}$ donde $k(t)\in\{1,\ldots,n\}$ para todos los $t$. De hecho, $t\mapsto z_{k(t)}$ debe ser constante ya que de otra manera continua la diferenciabilidad es violado. Llegamos a la conclusión de que $y(t)=c+tz_{j}$ para algunos $j$.