Grandes cantidades.

Question

¿Cuál es el valor de $2019! \pmod{7}$?

Supongo que es $0$? Porque $$2019! = 2019\cdot2018\cdot2017\cdot ...\cdot7\cdot6\cdot...\cdot1$$ No $7$ y también los números que ha $0$ resto cuando se divide por $7$, a veces el otro número es igual a $0$.

Puede alguien me corrija si estoy equivocado? Todavía no estoy seguro de que esta es la respuesta, aunque. Gracias

Answer 1

Sí, $$2019! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6 \times 7 \times 8 \times 9 \times ... \times 2019$$ $$ =7 \times (1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6 \times 8 \times 9 \times ... \times 2019), $$ so $2019!$ is a multiple of $7$ and the remainder when $2019!$ is divided by $7$ is $0,$ and therefore we write $$2019! \equiv 0 \pmod 7.$$

Tenga en cuenta que nosotros no necesitamos calcular $2019!$ - un número con miles de dígitos para hacer esta determinación.

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Como se señaló en los comentarios, de hecho todos los números naturales de hasta e incluyendo la $2019$ brecha $2019!,$ por un argumento similar. También, $7$ divide $2019!$ muchas veces (exactamente cómo muchos es una cuestión diferente), debido a los factores de $14, 21, 28, ...$ en $2019!.$