Prueba combinatoria de$\sum_{k=1}^n k^2 =\binom{n+1}{3} + \binom{n+2}{3}$

Question

¿Por qué razón o sugerencia habría que $$\sum_{k=1}^n k^2 =\binom{n+1}{3} + \binom{n+2}{3}$ $

Todas las pruebas combinatorias que he visto, parecían bastante intuitivas con la ecuación que ya daba pistas sobre cómo demostrarlo. Esta afirmación anterior, sin embargo, no parece lógica. Aunque algebraicamente funciona. Mi pregunta específica:

¿Qué significa el lado izquierdo? ¿Cómo lo interpretarías de manera combinatoria?

Answer 1

Considere la posibilidad de tratar de contar ordenó triples $(x,y,z)$ de enteros donde

• $0\le x< z$

• $0\le y< z$

• $1\le z\le n$

Cuando $z=k$hay $k$ opciones para $x$ e $k$ opciones para $y$, por lo que el número de tripletas que es, de hecho, $\sum_{k=1}^nk^2$.

Alternativamente, vamos a tomar todos los triples donde $x<y$ e identificarlos con el subconjunto $\{x,y,z\}$ de $\{0,1,2,\dots,n\}$. Hay $\binom{n+1}3$ tales subconjuntos, cada uno único y representa un triple donde $x<y$.

El único resto de triples son aquellos donde la $x\ge y$. Asociar cada uno de esos triples $(x,y,z)$ a el subconjunto $\{y,x+1,z+1\}$ de $\{0,1,2,\dots,n+1\}$. Hay $\binom{n+2}3 $ tales subconjuntos, cada nuevo únicamente representa un triple donde $x\ge y$. El triple de la correspondiente a $\{a<b<c\}$ es $(b-1,a,c-1)$.

Answer 2

La siguiente prueba combinatoria se copia de mi respuesta a esta pregunta.

Deje $B_n$ denotar el número de maneras en que usted puede colocar dos blancos obispos en un $n\times n$ tablero de ajedrez de manera que se guardan entre sí, es decir, que se encuentran en la diagonal del tablero de ajedrez. Voy a evaluar $B_n$ en dos formas diferentes.

I. Hay $2n-1$ diagonales de pendiente positiva, de longitudes $1,2,\dots,n-1,n,n-1,\dots,2,1$, y lo mismo va para las diagonales de pendiente negativa. El número de formas de elegir una diagonal y, a continuación, coloque dos obispos en la que la diagonal es $$B_n=2\left[\binom12+\cdots+\binom{n-1}2+\binom n2+\binom{n-1}2+\cdots+\binom12\right]=2\binom{n+1}3+2\binom n3.$$

II. Un par de obispos de la guardia de cada uno de los otros iff están en las esquinas opuestas de una $k\times k$ plaza para algunos $k\ge2$. Dado que el número de $k\times k$ plazas en un $n\times n$ tablero de ajedrez es $(n-k+1)^2$, y de cada cuadrado tiene dos pares de lados opuestos, tenemos $$B_n=2\left[(n-1)^2+\cdots+2^2+1^2\right].$$
Igualando las dos expresiones para $B_n$ y dividiendo a $2$, tenemos $$1^2+2^2+\cdots+(n-1)^2=\binom n3+\binom{n+1}3$$ o, sustituyendo $n+1$ para $n$, $$1^2+2^2+\cdots+n^2=\binom{n+1}3+\binom{n+2}3.$$