¿Qué es $\sum (x+\mathbb{Z})^{-2}$?

Question

Esta es una pregunta simple, pero su me ha estado molestando. Definir la función de $\gamma$ $\mathbb{R}\backslash \mathbb{Z}$ por $$\gamma(x):=\sum_{i\in \mathbb{Z}}\frac{1}{(x+i)^2}$$ La suma converge absolutamente, porque se comporta aproximadamente como $\sum_{i>0}i^{-2}$.

Algunos hechos rápidos:

• Más o menos por la construcción, $\gamma$ es periódica con período de $1$.
• A medida que se aproxima cualquier número entero desde la izquierda o a la derecha, se va a infinito positivo.
• Es simétrica en cada mitad entero; es decir, $\gamma(n+1/2+x)=\gamma(n+1/2-x)$ todos los $n\in \mathbb{Z}$$x\in \mathbb{R}$.

Puede $\gamma$ ser expresada en términos de más familiar (presumiblemente trigonométricas) funciones?

Mi mejor conjetura es $\gamma(x)=\sin^{-2}(\pi x)$, pero esto se basa más en lo que yo espero sería, en lugar de lo que es.

Answer 1

Otra prueba:

Comience con la identidad

$$\sin (\pi x)= \pi x \prod \left( 1-x^2/i^2 \right)$$

y se aplican $(d/dx)^2 \log$ a ambos lados.

Answer 2

El uso de residuos! Para una entretenida narración con la respuesta correcta, consulte aquí. Para una derivación, ver un análisis complejo de texto.

Agregó

Aquí hay un enlace a un resumen de los residuos método de la solución de este: Conway página 122.

Answer 3

Mientras estamos hablando de la función de Weierstrass, considerar los paralelismos entre las siguientes:

1) Dada una celosía $\Gamma$$\mathbb{R}$, el cociente $\mathbb{R}/\Gamma$ es topológicamente un círculo. Una manera de describir es de anotar que algunas funciones de $\mathbb{R}$ que son invariantes bajo $\Gamma$ y considerar su imagen. Es natural hacerlo escribiendo algo de arbitrario de la función en $\mathbb{R}$ y, a continuación, un promedio de más de $\Gamma$, y la elección de $\frac{1}{x^2}$ da una función que está estrechamente relacionado con $\sin \theta$. Ahora el mapa $\mathbb{R}/\Gamma \to (\sin' \theta, \sin \theta)$ tiene la imagen de la gran variedad $x^2 + y^2 = 1$.

2) Dado un entramado $\Gamma$$\mathbb{C}$, el cociente $\mathbb{C}/\Gamma$ es topológicamente un toro. Una manera de describir es de anotar que algunas funciones de $\mathbb{C}$ que son invariantes bajo $\Gamma$ y considerar su imagen. De nuevo, es natural hacerlo escribiendo algo de arbitrario de la función en $\mathbb{C}$ y, a continuación, un promedio de más de $\Gamma$, y la elección de $\frac{1}{z^2}$ da una función que está estrechamente relacionado con la función de Weierstrass $\wp(z)$. Ahora el mapa $\mathbb{C}/\Gamma \to (\wp'(z), \wp(z))$ tiene la imagen de la compleja variedad $y^2 = 4x^3 - g_2 x - g_3$. (Por supuesto, aquí es mucho más natural esperar que esta estrategia funciona porque sabemos que el compacto de Riemann superficies algebraicas.)

De hecho, es posible ver los círculos como "degenerado curvas elípticas" en el siguiente sentido preciso: cada curva elíptica sobre $\mathbb{C}$ se puede poner en la forma

$$x^2 + y^2 = 1 + a^4 x^2 y^2$$

para algunos $a \neq 0 \in \mathbb{C}$. La elíptica funciones que parametrizar estas variedades están relacionados con la Jacobi elíptica funciones, y la forma de arriba es (esencialmente) Edwards forma normal. Como Edwards notas, una de las muchas ventajas conceptuales de esta forma normal, es que como $a \to 0$, el grupo la ley degenera a la fórmula de la suma de ángulos para el seno y el coseno! Hay un papel de Franz Lemmermeyer que explora esta degeneración de una media aritmética perspectiva.

Answer 4

Para el registro, uno puede demostrar que la fórmula del producto para la condición sine sin análisis complejo (y sin la función Gamma), de la que (como David Speyer notado) se puede recuperar $\sum_{i \in \bf Z} (x+i)^{-2}$ como la segunda derivada logarítmica. Ver este Stackexchange respuesta. [Más tarde me enteré de que en el caso de $x=1/2$ recupera Wallis original de la prueba de su producto fórmula para $\pi$; tal vez esta generalización también era conocido antes de la complejidad analítica de la prueba.]

Answer 5

Si tienes en cuenta las dos dimensiones de la versión de la suma que se llevó rápidamente a la Weierstrass elíptica funciones:

Ingenuamente, uno es llevado a considerar $$\sum_{m,n\in \mathbb{Z}}\frac{1}{(z+m+\omega n)^2}$$ (where $\omega$ is a complex number). This does not converge, but by subtracting off the "divergent part" $$\sum_{m^2+n^2\neq0}\frac{1}{(m+\omega n)^2}$$

consigue un doble-periódico función de meromorphic. Tomando $\omega\rightarrow\infty$, esto se convierte en el solo-función periódica en su pregunta.